本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁。時量120分鐘。滿分150分。
一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 複數
a. —1 b. 1
c. —i d. i
2. 給出下列四個命題：
①命題「若x2 = 1，則x= 1」的否命題為：「若:x2 = 1，則」；
②命題「」的否定是「」；
③命題"若:x=y，則」的逆否命題為真命題；
④「x=—1」是「的必要不充分條件.
其中真命題的個數是
a. 1個 b. 2個
c. 3個 d. 4個
3. 已知拋物線頂點在原點，焦點為雙曲線：=1的右焦點，則此拋物線的方程是
a.. b.
cd.4. 已知某幾何體的三檢視如圖所示，若該幾何體的體積為24,則正檢視中a的值為
a. 8 b. 6
c. 4 d. 2
5. 若函式/(x)=|x|x(x-b)在區間[0，2]上是減函式,則實數b的取值範圍是
a.— b.
c. d.
6. 乙個演算法的程式框圖如下圖所示，若執行該程式輸出的結果為，則判斷框中應填入的條件是
ab.c. d.
7. 在中，三內角a、b、c的對邊分別是a、b、c，若，則角a的值為
a. 30° b. 60°
c. 120° d. 150°
8. 已知函式對任意自然數x，y均滿足：，且，則等於
a. 2010 b. 2009
c. 1005 d. 1004
9. 已知向量a和b的夾角為120°，，且，則= .
10. 已知點a，b，c為同乙個球面上三點，且，若球心o到平面abc的距離為2，直線ao與平面abc成30°角，則球o的表面積等於
11. 若的展開式中x3的係數與常數項相等，則a
12. 若直線.繞其與x軸的交點逆時針旋轉90°後恰與曲線m:
為引數)相切，則c的值為
13. 若是函式的兩個零點，則的值為
14. 已知，且，則的最小值是_______.
15. 設，其中或1()，並記.對於給定的，構造無窮數列如下：
(1) 若，則用數字作答）；
(2) 給定乙個正整數m，若，則滿足（，且）的n的最小值為_______.
16. (本小題滿分12分）
已知函式和.
(1) 設是的乙個極大值點，是的乙個極小值點，求的最小值；
(2) 若，求的值.
17. (本小題滿分12分）
如圖，在四邊形abcd中，對角線於o，且.沿bd將翻折成，使平面平面.點p、q分別在bc、cd上，沿pq將翻摺，能使點c與點a1重合，點f為pq與ac的交點.
(1) 求證：直線pq丄平面；
(2)求面與面所成二面角的余弦值.
18.(本小題滿分12分）
某工廠有120名工人，其年齡都在2060歲之間，各年齡段人數按[20，30)，[30,40)，[40，50)，[50，60]分組，其頻率分布直方圖如下圖所示.工廠為了開發新產品，引進了新的生產裝置，要求每個工人都要參加a、b兩項培訓，培訓結束後進行結業考試，已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如下表所示.假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響.
(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取乙個容量為40的樣本，求各年齡段應分別抽取的人數，並估計全廠工人的平均年齡；
(2)隨機從年齡段[20，30)和[40,50)中各抽取1人，設這兩人中a、b兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為x，求x的分布列和數學期望
19.(本小題滿分13分）
如圖，在一條河流的上、下游分別有甲、乙兩家化工廠，其中甲廠每天向河道內排放汙水2萬m3，每天流過甲廠的河水流量是500萬m3 (含甲廠排放的汙水）；乙廠每天向河道內排放汙水1.4萬m3，每天流過乙廠的河水流量是700萬m3(含乙廣排放的汙水).由於兩廠之間有一條支流的作用，使得甲廠排放的汙水在流到乙廠時；有20可自然淨化.
假設工廠排放的汙水能迅速與河水混合，且甲廠上游及支流均無汙水排放.
}(1) 求河流在經過乙廠後汙水含量的百分比約是多少？（精確到0.01%)
(2) 根據環保要求，整個河流中汙水含量不能超過0.2%，為此，甲、乙兩家工廠都必須各自處理一部分汙水.已知甲廠處理汙水的成本是1000元/萬m3，乙廠處理汙水的成本是800元/萬m3，求甲、乙兩廠每天應分別處理多少萬m3汙水，才能使兩廠處理汙水的總費用最小？
最小總費用是多少元？
20. (本小題滿分13分）
已知點p是圓上一動點，點p在y軸上的射影為q，設滿足條件(為非零常數)的點m的軌跡為曲線c.
(1) 求曲線c的方程；
(2) 若存在過點n()的直線l與曲線c相交於a、b兩點，且（o為座標原點），求a的取值範圍.
21. (本小題滿分13分）
已知函式，數列的首項為m(m為大於1的常數），且
(1) 設，求函式的單調區間；
(2) 求證：；
(3) 若當^ ^時，恆成立，求m的取值範圍.
［例1］求經過兩點p1（2，1）和p2（m，2）（m∈r)的直線l的斜率，並且求出l的傾斜角α及其取值範圍.
選題意圖：考查傾斜角與斜率之間的關係及斜率公式.
解：(1)當m=2時，x1＝x2＝2，∴直線l垂直於x軸，因此直線的斜率不存在，傾斜角α=
(2)當m≠2時，直線l的斜率k=∵m＞2時，k＞0.
∴α=arctan,α∈（0，），
∵當m＜2時，k＜0
∴α＝π＋arctan，α∈(,π).
說明：利用斜率公式時，應注意斜率公式的應用範圍.
［例2］若三點a(－2，3），b（3，－2），c（，m）共線，求m的值.
選題意圖：考查利用斜率相等求點的座標的方法.
解：∵a、b、c三點共線，
∴ｋab＝ｋac，
解得m=.
說明：若三點共線，則任意兩點的斜率都相等，此題也可用距離公式來解.
［例3］已知兩點a(－1,－5),b(3,－2),直線l的傾斜角是直線ab傾斜角的一半，求直線l的斜率.
選題意圖：強化斜率公式.
解：設直線l的傾斜角α，則由題得直線ab的傾斜角為2α.
∵tan2α=ｋab=
即3tan2α+8tanα－3=0，
解得tanα＝或tanα＝－3.
∵tan2α＝＞0,∴0°＜2α＜90°,
0°＜α＜45°，
∴tanα＝.
因此，直線l的斜率是
說明：由2α的正切值確定α的範圍及由α的範圍求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.
命題否定的典型錯誤及製作
在教材的第一章安排了《常用邏輯用語》的內容．從課本內容安排上看，顯得較容易，但是由於對邏輯聯結詞不能做到正確理解，在解決這部分內容涉及的問題時容易出錯．下面僅對命題的否定中典型錯誤及常見製作方法加以敘述．
一、典型錯誤剖析
錯誤1——認為命題的否定就是否定原命題的結論
在命題的否定中，有許多是把原命題中的結論加以否定．如命題：是無理數，其否定是：不是無理數．但據此就認為命題的否定就是否定原命題的結論就錯了．
例1 寫出下列命題的否定：
⑴ 對於任意實數x，使x2＝1；
⑵ 存在乙個實數x，使x2＝1．
錯解：它們的否定分別為
⑴ 對於任意實數x，使x2≠1；
⑵ 存在乙個實數x，使x2≠1．
剖析：對於⑴是全稱命題，要否定它只要存在乙個實數x，使x2≠1即可；對於⑵是存在命題，要否定它必須是對所有實數x，使x2≠1．
正解：⑴存在乙個實數x，使x2≠1；
⑵對於任意實數x，使x2≠1．
錯誤2——認為命題的否定就是原命題中的判斷詞改和其意義相反的判斷詞
在命題的否定中，有許多是把原命題中的判斷詞改為相反意義的詞，如「是」改為「不是」、「等」改為「不等」、「大於」改為「小於或等於」等．但對於聯言命題及選言命題，還要把邏輯聯結詞「且」與「或」互換．
例2 寫出下列命題的否定：
⑴ 線段ab與cd平行且相等；
⑵ 線段ab與cd平行或相等．
錯解：⑴ 線段ab與cd不平行且不相等；
⑵ 線段ab與cd不平行或不相等．
剖析：對於⑴是聯言命題，其結論的含義為：「平行且相等」，所以對原命題結論的否定除「不平行且不相等」外，還應有「平行且不相等」、「不平行且相等」；而⑵是選言命題，其結論包含「平行但不相等」、「不平行但相等」、「平行且相等」三種情況，故否定就為「不平行且不相等」．
正解：⑴ 線段ab與cd不平行或不相等；
⑵ 線段ab與cd不平行且不相等．
錯誤3——認為「都不是」是「都是」的否定
例3 寫出下列命題的否定：
⑴ a，b都是零；
⑵ 高一(一)班全體同學都是共青團員．
錯解：⑴ a，b都不是零；
⑵ 高一(一)班全體同學都不是共青團員．
剖析：要注意「都是」、「不都是」、「都不是」三者的關係，其中「都是」的否定是「不都是」，「不都是」包含「都不是」；「至少有乙個」的否定是「乙個也沒有」．
正解：⑴a，b不都是零，即「a，b中至少有乙個不是零」．
⑵ 高一(一)班全體同學不都是共青團員，或寫成：高一(一)班全體同學中至少有一人共青團員．
錯誤4——認為「命題否定」就是「否命題」
根據邏輯學知識，任一命題p都有它的否定(命題)非p(也叫負命題、反命題)；而否命題是就假言命題(若p則q)而言的．如果乙個命題不是假言命題，就無所謂否命題，也就是說，我們就不研究它的否命題．我們應清醒地認識到：假言命題「若p則q」的否命題是「若非p則非q」，而「若p則q」的否定(命題)則是「p且非q」，而不是「若p則非q」．
例4 寫出命題「滿足條件c的點都在直線f上」的否定．
錯解：不滿足條件c的點不都在直線f上．
剖析：對於原命題可表示為「若a，則b」，其否命題是「若┐a，則┐b」，而其否定形式是「若a，則┐b」，即不需要否定命題的題設部分．
正解：滿足條件c的點不都在直線f上．
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