江西師大附中高三年級數學（理）月考試卷
命題人：吳小平張延良審題人：高三數學備課組 2012．10
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，每小題只有乙個選項是正確）
1．若集合，，則=（ ）
a． b． c． d．
2．已知複數，對映，則的原象是（ ）
abcd．
3．已知，則是的（ ）
a．充分不必要條件b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分也不必要條件
4．命題「」的否定是（ ）
ab．c．成立d．成立
5．若函式，又，且的最小值為，則正數的值是（ ）
abcd．
6．已知a，b，c三點的座標分別是，，，，若，則的值為（ ）
abc．2d．3
7．如圖，正方形abcd的頂點a(0，)，b（，0），頂點c，d位於第一象限，直線將正方形abcd分成兩部分，記位於直線左側陰影部分的面積為，則函式的圖象大致是（ ）
abcd
8．已知函式和函式，
若存在，使得成立，則實數的取值範圍是（ ）
a． bcd．
9．已知為上的可導函式，當時，，則關於x的函式的零點個數為（ ）
a．1b．2c．0d．0或 2
10．已知是偶函式，而是奇函式，對任意，且時,有,則的大小關係是（ ）
a． bc． d．
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共20分）
11．如圖，在乙個長為π，寬為2的矩形oabc內，曲線與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形oabc內隨機投一點(該點落在矩形oabc內任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是
12．在△abc中，角a、b、的對邊分別為a、b、c,若()tanb,則b的值為
13．若均為單位向量，且，，則的最大值為
14．函式的定義域為d，若對於任意，當時，都有，則稱函式在d上為非減函式.設函式為定義在[0，1]上的非減函式，且滿足以下三個條件：
①；②，； ③ 當時，恆成立.則
15．關於的方程，給出下列四個命題：
①存在實數，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數，使得方程恰有6個不同的實根;
⑤存在實數，使得方程恰有8個不同的實根．
其中真命題的序號是寫出所有真命題的序號）.
三、解答題（本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本小題共12分）設函式.
（1）求的最大值，並寫出使取得最大值的的集合；
（2）在中，角a、b、c的對邊分別為，若
求的最小值.
17．（本小題共12分）師大附中高三年級學生為了慶祝第28個教師節，同學們為老師製作了一大批同一種規格的手工藝品，這種工藝品有兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響，若項技術指標達標的概率為項技術指標達標的概率為，按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的工藝品為合格品.
（1）求乙個工藝品經過檢測至少一項技術指標達標的概率；
（2）任意依次抽取該工藝品4個，設表示其中合格品的個數，求的分布列及.
18．（本小題共12分）已知等比數列滿足，且是的等差中項.
（1）求數列的通項公式；
（2）若
求使成立的正整數的最小值.
19．（本小題共12分）如圖邊長為4的正方形所在平面與正所在平面互相垂直，分別為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求：二面角的余弦值；
（3）試問：**段上是否存在一點使得平面平面若存在，試指出點n的位置，並證明你的結論；若不存在，請說明理由.
20．（本小題共13分）已知拋物線的焦點是橢圓乙個頂點，橢圓的離心率為，另有一圓圓心在座標原點，半徑為.
（1）求橢圓和圓的方程；
（2）已知是圓上任意一點，過點作直線，使得與橢圓都只有乙個公共點，求證：.
21．（本小題共14分）已知函式，，（為實數）.
（1）當時，求函式在上的最小值；
（2）若方程（其中）在區間上有解，求實數的取值範圍；
（3）證明：（參考資料：.
江西師大附中高三年級數學（理）答題卷
一、選擇題：(本大題共10小題，每小題5分，共50分)．
二、填空題（本大題共5小題，每題5分，共25分）
111213． 1 14． 15
三、解答題（本大題共6小題，共75分，要有適當的解答過程）
16．（本小題共12分）
設函式（1）求的最大值，並寫出使取得最大值的的集合
（2）在中，角a、b、c的對邊分別為，若
求的最小值
解：（1）
當即時，取得最大值2，故使取得最大值的的集合為
（2）由題意知即
在中，由餘弦定理得
又當且僅當時，取得最小值1
17．（本小題共12分）
師大附中高三年級學生為了慶祝第28個教師節，同學們為老師製作了一大批同一種規格的手工藝品，這種工藝品有兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達標與否互不影響，若項技術指標達標的概率為項技術指標達標的概率為，按質量檢驗規定：兩項技術指標都達標的藝術品為合格品
（1）求乙個工藝品經過檢測至少一項技術指標達標的概率
（2）任意依次抽取該工藝品4個，設表示其中合格品的個數，求分布列及
解（1）設乙個工藝品經過檢測至少一項技術指標達標，則都不達標，故
（2）依題意知
18．（本小題共12分）
已知等比數列滿足且是的等差中項
（1）求數列的通項公式
（2）若求使成立的正整數的最小值
解（1）設等比數列的公比為
由得由①得解得或
當時，不合題意捨去
當時，代入②得則
（2）因為
所以因為所以
即，解得或
又，故使成立的正整數的最小值為10
19．（本小題共12分）
如圖邊長為4的正方形所在平面與正所在平面互相垂直，分別為的中點
（1）求證：平面
(2)求二面角的余弦值；
（3）試問：**段上是否存在一點使得平面平面若存在，試指出點n的位置，並證明你的結論；若不存在，請說明理由
（1）證明：連線交於點，連線由正方形知為的中點，為的中點，
平面平面平面
（2）二面角的余弦值為
（3）解，存在點當為中點時，平面
四邊形是正方形，為的中點，
由（1）知，平面
又20．（本小題共13分）
已知拋物線的焦點是橢圓乙個頂點，橢圓的離心率為，另有一圓圓心在座標原點，半徑為
（1）求橢圓和圓的方程
（2）已知是圓上任意一點，過點作直線，使得與橢圓都只有乙個公共點，求證：
解（1）由可得拋物線焦點座標為（0，1），由已知得，又得
橢圓的方程為，圓的方程為
（2）若點的座標為，則過這四點分別作滿足條件的直線，若一條直線斜率為則另一條斜率不存在，則
若直線斜率都存在，則設過與橢圓只有乙個公共點的直線方程為由得即
則化簡得
又設直線的斜率分別為，因為與橢圓都只有乙個公共點，所以滿足
21．（本小題共14分）已知函式，為實數）
（1）當時，求函式在上的最小值；
（2）若方程（其中）在區間上有解，求實數的取值範圍；
（3）證明：（參考資料：
解（1）當時，
令得在上單調遞減，在上單調遞增
時的最小值為
（2）在上有解在上有解在上有解令令
上單調遞增，上單調遞減，又即故
（3）設
由（1），可得
建構函式
當時，在上單調遞減，
即當時， 即故
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