第五章相交線與平行線
5.1 相交線
知識點一：相交線
1在平面內，不重合的兩條直線的位置關係只有兩種：相交與平行。
2相交線的定義：在平面內有乙個公共交點的兩條直線，叫做相交線
3相交線的性質：兩條直線相交有且只有乙個交點。
知識點二：鄰補角：
（1）定義：如果兩個角有一條公共邊且有乙個公共頂點，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關係的兩個角互為鄰補角。
（2）性質：從位置看：互為鄰角；
從數量看：互為補角；
a1 234 b
知識點三：對頂角
（1）定義：如果兩個角有有乙個公共頂點且它們的兩邊互為反向延長線，具有這種關係的兩個角互為對頂角。
（2）性質：對頂角相等
附：鄰補角與對頂角
兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關係的角，它們的概念及性質如下表：
注意點：⑴對頂角是成對出現的，對頂角是具有特殊位置關係的兩個角；
⑵如果∠α與∠β是對頂角，那麼一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那麼∠α與∠β不一定是對頂角
⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角。
⑶兩直線相交形成的四個角中，每乙個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有乙個。
知識點四：垂線
⑴定義，當兩條直線相交所成的四個角中，有乙個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
符號語言記作：ab⊥cd，垂足為o 如圖所示：
⑵垂線性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記前提：在同一
⑶垂線段性質2：連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短平面內
知識點五：垂線的畫法：
⑴過直線上一點畫已知直線的垂線；⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。
注意：①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；②過一點作線段的垂線，垂足可**段上，也可以**段的延長線上。
畫法：⑴一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，⑵二移：移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上，⑶三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線。
知識點六：理解「垂線」、「垂線段」、「兩點間距離」、「點到直線的距離」這些相近而又相異的概念，分析它們的聯絡與區別：
⑴垂線與垂線段區別：垂線是一條直線，不可度量長度；垂線段是一條線段，可以度量長度。 聯絡：具有垂直於已知直線的共同特徵。(垂直的性質)
⑵兩點間距離與點到直線的距離區別：兩點間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間。 聯絡：都是線段的長度；點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。
⑶線段與距離距離是線段的長度，是乙個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。
知識點七：同位角內錯角同旁內角
1、內錯角的定義：兩個角都在截線的兩側，都在被截直線之間。這樣的兩個角叫做內錯角。
2、同位角的定義：兩個角都在截線的同側，都在被截直線的同一方。這樣的兩個角叫做同位角。
3、同旁內角的定義：兩個角都在截線的同側，都在被截直線之間。這樣的兩個角叫做同旁內角。
4、截線與被截直線的定義：截線就是截斷兩條同一方向直線的直線，被截直線就是被截線所截斷的兩條同一方向的直線。
同位角、內錯角、同旁內角：
同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關係的一對角叫做同位角。
內錯角：∠4與∠6像這樣的一對角叫做內錯角。
同旁內角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內角。
知識點八：三線八角
兩條直線被第三條直線所截形成八個角，它們構成了同位角、內錯角與同旁內角。
如圖，直線被直線所截
①∠1與∠5在截線的同側，同在被截直線的上方，
叫做同位角（位置相同）
②∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內），叫做內錯角（位置在內且交錯）
③∠5與∠4在截線的同側，在被截直線之間（內），叫做同旁內角。
④三線八角也可以成模型中看出。同位角是「a」型；內錯角是「z」型；同旁內角是「u」型。
知識點九：如何判別三線八角
判別同位角、內錯角或同旁內角的關鍵是找到構成這兩個角的「三線」，有時需要將有關的部分「抽出」或把無關的線略去不看，有時又需要把圖形補全。例如：
如圖，判斷下列各對角的位置關係：⑴∠1與∠2；⑵∠1與∠7；⑶∠1與∠bad；⑷∠2與∠6；⑸∠5與∠8。
我們將各對角從圖形中抽出來（或者說略去與有關角無關的線），得到下列各圖。
如圖所示，不難看出∠1與∠2是同旁內角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠bad是同旁內角；∠2與∠6是內錯角；∠5與∠8對頂角。
注意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？
不是，因為∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成。
5.2 平行線及其判定
知識點一：平行線
（1）定義：在平面內不相交的兩條直線，叫做平行線。
（2）表示方法：用符號「∥」表示平行。
知識點二：平行公理平行線的存在性與惟一性
經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
知識點三：平行公理的推論：
如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行
如左圖所示，∵∥，∥
注意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行於第三條直線，才會結論，這兩條直線都平行。
知識點四：兩直線平行的判定方法
方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：同位角相等，兩直線平行
方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行
簡稱：內錯角相等，兩直線平行
方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行
簡稱：同旁內角互補，兩直線平行
幾何符號語言：
3＝∠2
ab∥cd（同位角相等，兩直線平行）
1＝∠2
ab∥cd（內錯角相等，兩直線平行）
4＋∠2＝180°
ab∥cd（同旁內角互補，兩直線平行）
請同學們注意書寫的順序以及前因後果，平行線的判定是由角相等，然後得出平行。平行線的判定是寫角相等，然後寫平行。
注意：⑴幾何中，圖形之間的「位置關係」一般都與某種「數量關係」有著內在的聯絡，常由「位置關係」決定其「數量關係」，反之也可從「數量關係」去確定「位置關係」。上述平行線的判定方法就是根據同位角或內錯角「相等」或同旁內角「互補」這種「數量關係」，判定兩直線「平行」這種「位置關係」。
⑵根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種：①如果兩條直線沒有交點（不相交），那麼兩直線平行。②如果兩條直線都平行於第三條直線，那麼這兩條直線平行。
典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請給予改正：
⑴不相交的兩條直線必定平行線。
⑵在同一平面內不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那麼這兩條直線一定相交。
⑶過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行
解答：⑴錯誤，平行線是「在同一平面內不相交的兩條直線」。「在同一平面內」是一項重要條件，不能遺漏。
⑵正確⑶不正確，正確的說法是「過直線外一點」而不是「過一點」。因為如果這一點不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的。
典型例題：如圖，根據下列條件，可以判定哪兩條直線平行，並說明判定的根據是什麼？
解答：⑴由∠2＝∠b可判定ab∥de，根據是同位角相等，兩直線平行；
⑵由∠1＝∠d可判定ac∥df，根據是內錯角相等，兩直線平行；
⑶由∠3＋∠f＝180°可判定ac∥df，根據同旁內角互補，兩直線平行。
5.3 平行線的性質
知識點一：平行線的性質：
性質1：兩直線平行，同位角相等；
性質2：兩直線平行，內錯角相等；
性質3：兩直線平行，同旁內角互補。
幾何符號語言：
ab∥cd
1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）
ab∥cd
3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）
ab∥cd
4＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）
知識點二：兩條平行線的距離
如圖，直線ab∥cd，ef⊥ab於e，ef⊥cd於f，則稱線段ef的長度為兩平行線ab與cd間的距離。
注意：直線ab∥cd，在直線ab上任取一點g，過點g作cd的垂線段gh，則垂線段gh的長度也就是直線ab與cd間的距離。
知識點三：平行線的性質與判定
①平行線的性質與判定是互逆的關係
兩直線平行同位角相等；
兩直線平行內錯角相等；
兩直線平行同旁內角互補。
其中，由角的相等或互補（數量關係）的條件，得到兩條直線平行（位置關係）這是平行線的判定；由平行線（位置關係）得到有關角相等或互補（數量關係）的結論是平行線的性質。
典型例題：已知∠1＝∠b，求證：∠2＝∠c
證明：∵∠1＝∠b（已知）
∴de∥bc（同位角相等，
兩直線平行）
∴∠2＝∠c（兩直線平行
同位角相等）
注意，在了de∥bc，不需要再寫一次了，得到了de∥bc，這可以把它當作條件來用了。
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