北師大版初中數學定理知識點彙總七年級下冊
第一章整式的運算
一. 整式
1. 單項式 ：①由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。單獨乙個數或字母也是單項式。
②單項式的係數是這個單項式的數字因數，必須包括前面的符號,如果乙個單項式只是字母的積,並非沒有係數.這時係數是1或者-1
③乙個單項式中,所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.
2.多項式 ：①幾個單項式的和叫做多項式.在多項式中,每個單項式叫做多項式的項.其中,不含字母的項叫做常數項.乙個多項式中,次數最高項的次數,叫做這個多項式的次數.
②單項式和多項式都有次數,含有字母的單項式有係數,多項式沒有係數.多項式的每一項都是單項式,乙個多項式的項數就是這個多項式作為加數的單項式的個數.多項式中每一項都有它們各自的次數,但是它們的次數不可能都作是為這個多項式的次數,乙個多項式的次數只有乙個,它是所含各項的次數中最高的那一項次數.
特別注意：①、π不是字母，而是乙個常數。
是單項式，但是多項式。
既不是單項式也不是多項式。也就不是整式。
3.整式：單項式和多項式統稱為整式.
單項式整式代數式多項式其他代數式
二. 整式的加減
1. 整式的加減實質上就是去括號後,合併同類項,運算結果是乙個多項式或是單項式.
2. 括號前面是「－」號,去括號時,括號內各項要變號；乙個整式作為減數時，必須對這個整式套括號。
三. 同底數冪的乘法
同底數冪的乘法法則: (m,n都是正整數)
即是同底數冪相乘，底數不變，指數相加。
注意以下幾點:
①法則使用的前提條件是：冪的底數相同而且是相乘時，底數a可以是乙個具體的數字式字母，也可以是乙個單項式或多項式；
如果是幾個互為相反數的多項式，化相同的方法：
1、偶數次方直接化相同。
2、奇數次方化相同，必須在乙個前面添負號。
②指數是1時，不要誤以為沒有指數；
③不要將同底數冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數相同指數就可以相加；而對於加法，不僅底數相同，還要求指數相同才能相加；
④當三個或三個以上同底數冪相乘時，法則可推廣為：（其中m、n、p均為正整數）；
⑤注意公式的逆用。
四．冪的乘方與積的乘方
1. 冪的乘方法則： (m,n都是正整數)
即是底數不變，指數相乘。
2.冪的乘方還可寫為： (m,n都為正整數).
3. 底數有負號時,運算時要注意,底數是a與(-a)時不是同底，但可以利用乘方法則化成同底，
如可化成
4．底數有時形式不同，但可以化成相同。
5．積的乘方法則：積的乘方，等於把積每乙個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（n為正整數）。
6．要注意區別與意義是不同的，不要誤以為它們相等。
7．冪的乘方與積乘方法則均可逆向運用。
五. 同底數冪的除法
1. 同底數冪的除法法則: (a≠0,m、n都是正整數,且m>n).即是同底數冪相除，底數不變，指數想減。
2. 在應用時需要注意以下幾點:
①法則使用的前提條件是「同底數冪相除」而且0不能做除數,所以法則中a≠0.
3零指數冪和負指數冪法則：
①(),即是任何不等於0的數的0次冪等於1,如, ,但無意義.
②( a≠0,p是正整數), 即是非零數的負p次方等於這個數的p次方分之一。
④運算要注意運算順序.
六. 整式的乘法
1. 單項式乘法法則:單項式相乘,把它們的係數、相同字母分別相乘，對於只在乙個單項式裡含有的字母，連同它的指數作為積的乙個因式。
單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：
①積的係數等於各因式係數積，先確定符號，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是，將係數相乘與指數相加混淆；
②相同字母相乘，運用同底數的乘法法則；
③只在乙個單項式裡含有的字母，要連同它的指數作為積的乙個因式；
④單項式乘法法則對於三個以上的單項式相乘同樣適用；
⑤單項式乘以單項式，結果仍是乙個單項式。
2．單項式與多項式相乘
單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：
①單項式與多項式相乘，積是乙個多項式，其項數與多項式的項數相同；
②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；
③在混合運算時，要注意運算順序。
3．多項式與多項式相乘
多項式與多項式相乘，先用乙個多項式中的每一項乘以另乙個多項式的每一項，再把所得的積相加。 多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：
①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合併同類項之前，積的項數應等於原兩個多項式項數的積；
②多項式相乘的結果應注意合併同類項；
七．平方差公式
1．平方差公式：
兩部分的和乘以兩部分的差，等於完全相同部分的平方減去只有符號不同部分的平方。
其結構特徵是：
①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；
②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。
八．完全平方公式
1． 完全平方公式：兩數和（或差）的平方，等於它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。
即口決：首平方，尾平方，2倍乘積在**；
2．結構特徵：
①公式左邊是二部分的和或者差的完全平方；
②公式右邊共有三項，是兩部分的平方和，再加上或減去這兩部分乘積的2倍。
3．在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符號，以及避免出現這樣的錯誤。
注意：所以公式中的a與b可以表示乙個字母或者數字，也可以表示乙個整式。
九．整式的除法
1．單項式除法單項式
單項式相除，把係數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對於只在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的乙個因式；
2．多項式除以單項式
多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加，其特點是把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特別注意符號。
第二章平行線與相交線
一．餘角和補角
1．互為餘角和互為補角的有關概念與性質
如果兩個角的和為90°（或直角），那麼這兩個角互為餘角；
如果兩個角的和為180°（或平角），那麼這兩個角互為補角；
注意：這兩個概念都是對於兩個角而言的，而且兩個概念強調的是兩個角的數量關係，與兩個角的相互位置沒有關係。
它們的主要性質：
同角或等角的餘角相等；同角或等角的補角相等。
二．探索直線平行的條件
兩條直線互相平行的條件即兩條直線互相平行的判定定理，共有三條：
①同位角相等，兩直線平行；
②內錯角相等，兩直線平行；
③同旁內角互補，兩直線平行。
三．平行線的特徵
平行線的特徵即平行線的性質定理，共有三條：
①兩直線平行，同位角相等；
②兩直線平行，內錯角相等；
③兩直線平行，同旁內角互補。
注意：要會區分內錯角與相應的直線。
四．用尺規作線段和角
1．關於尺規作圖
尺規作圖是指只用圓規和沒有刻度的直尺來作圖。
2．關於尺規的功能
直尺的功能是：在兩點間連線一條線段；將線段向兩方向延長。
圓規的功能是：以任意一點為圓心，任意長度為半徑作乙個圓；
以任意一點為圓心，任意長度為半徑畫一段弧。
第三章變數之間關係
一、基礎知識
1、常量：在一組資料中或者關係式中不會沒發生變化的量；
2、變數：變化的量
（1）自變數：可以自己發生變化的量；
（2）因變數：隨自變數的變化而變化的量。
二、表示方式
1、**
（1）借助**可以感知因變數隨自變數變化的情況；
（2）從**中可以獲取一些資訊，能夠做出某種**或估計；
2、關係式
（1）能根據題意列簡單的關係式；
（2）能利用關係式進行簡單的計算；
3、影象
（1）識別影象是否正確；
（2）利用影象盡可能地獲取自變數因變數的資訊。
第四章三角形
一．認識三角形
1．關於三角形的概念及其按角的分類
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
這裡要注意兩點：
①組成三角形的三條線段要「不在同一直線上」；如果在同一直線上，三角形就不存在；
②三條線段「首尾是順次相接」，是指三條線段兩兩之間有乙個公共端點，這個公共端點就是三角形的頂點。
三角形按內角的大小可以分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。
③、三角形具有穩定性。
2．關於三角形三條邊的關係
根據公理「鏈結兩點的線中，線段最短」可得三角形三邊關係的乙個性質定理，即三角形任意兩邊之和大於第三邊。
三角形三邊關係的另乙個性質：三角形任意兩邊之差小於第三邊。
對於這兩個性質，要全面理解，掌握其實質，應用時才不會出錯。
設三角形三邊的長分別為a、b、c則：
①一般地，對於三角形的某一條邊a來說，一定有|b-c|＜a＜b+c（第三邊大於兩邊之差而小於兩邊之和）成立；（反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三條線段才能構成三角形；
②特殊地，如果已知線段a最大，只要滿足b+c＞a，那麼a、b、c三條線段就能構成三角形；如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|＜a，那麼這三條線段就能構成三角形。
3．關於三角形的內角和
三角形三個內角的和為180°
①直角三角形的兩個銳角互餘；
②乙個三角形中至多有乙個直角或乙個鈍角；
③乙個三角中至少有兩個內角是銳角。
4．關於三角形的中線、高和中線
定義：在三角形中，連線乙個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個
三角形的中線；
在三角形中，乙個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的
頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線；
在三角形中，從乙個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂
點和垂足之間的線段叫三角形的高。
①三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；
②任意乙個三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；
③任意乙個三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內部。但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內部；直角三角形有一條高在三角形的內部，另兩條高恰好是它兩條邊，；鈍角三角形一條高在三角形的內部，另兩條高在三角形的外部。
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