高中數學必修1知識點
第一章集合與函式概念
一、集合有關概念：
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
（1）元素的確定性； （2）元素的互異性； （3）元素的無序性
說明：(1)對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何乙個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入乙個集合時，僅算乙個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
3、集合的表示： 如，
（1）用大寫英文本母表示集合：a=,b=
（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。
（ⅰ）列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，然後用乙個大括號括上。
（ⅱ）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法：例：
②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是或
（3）圖示法（文氏圖）：
4、常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：n
正整數集 n*或 n+ 整數集 z 有理數集q 實數集 r
5、「屬於」的概念
集合的元素通常用小寫的英文本母表示，如：a是集合a的元素，就說a屬於集合a 記作 a∈a ，相反，a不屬於集合a 記作 aa
6、集合的分類：
1．有限集含有有限個元素的集合2．無限集含有無限個元素的集合3．空集不含任何元素的集合
二、集合間的基本關係
1.「包含」關係———子集
對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，我們就說兩集合有包含關係，稱集合a為集合b的子集，記作ab
注意： 有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。
反之: 集合a不包含於集合b,或集合b不包含集合a,記作a b或b a
集合a中有n個元素,則集合a子集個數為2n.
2．「相等」關係(5≥5，且5≤5，則5=5)
例項：設 a= b= 「元素相同」
結論：對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即：a=b
① 任何乙個集合是它本身的子集。aa
②真子集:如果ab,且ab那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
③如果 ab, bc ,那麼 ac
④ 如果ab 同時 ba 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1．交集的定義：一般地，由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．
記作a∩b(讀作」a交b」)，即a∩b=．
2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的並集。記作：a∪b(讀作」a並b」)，即a∪b=．
3、交集與並集的性質：a∩a = a，a∩φ= φ, a∩b = b∩a，a∪a = a，a∪φ= a , a∪b = b∪a.
4、全集與補集
（1）全集：如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作乙個全集。通常用u來表示。
（2）補集：設u是乙個集合，a是u的乙個子集（即au），由u中
所有不屬於a的元素組成的集合，叫做u中子集a的補集（或餘集）。
記作： cua ，即 cua =
（3）性質：⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(c ua)∪a=u
二、函式的有關概念
1．函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
注意：1、如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；2、函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
定義域補充：
能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零；
(2)偶次方根的被開方數不小於零；
(3)對數式的真數必須大於零；
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
（6）指數為零,底不可以等於零
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
(注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域。)
2、構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域
注意：構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域．由於值域是由定義域和對應關係決定的,兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。 相同函式的判斷方法：
①定義域一致；②表示式相同 (兩點必須同時具備)
值域補充
(1)、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域.
(2)、應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．
c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 . 即記為c=
圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行於y軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成。
(2) 畫法：
a、描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點p(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.
b、圖象變換法：
常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換
ⅰ、對稱變換:
（1）將y= f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y=∣f(x)∣的圖象如：書上p21例5
（2） y= f(x)和y= f(-x)的圖象關於y軸對稱。如
（3） y= f(x)和y= -f(x)的圖象關於x軸對稱。如
ⅱ、平移變換: 由f(x)得到f(xa) 左加右減； 由f(x)得到f(x) a 上加下減
4．區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．
5．對映
說明:函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應，①集合a、b及對應法則f是確定的；②對應法則有「方向性」，即強調從集合a到集合b的對應，它與從b到a的對應關係一般是不同的；
③對於對映f：a→b來說，則應滿足：（ⅰ）集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；（ⅱ）集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；（ⅲ）不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
6、函式的表示法：
常用的函式表示法及各自的優點
1 解析法：必須註明函式的定義域；
2 圖象法：描點法作圖要注意：確定函式的定義域；化簡函式的解析式；觀察函式的特徵；
3列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
注意：解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖象法：便於量出函式值
補充一：分段函式
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．注意：
（1）分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式；（2）分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集．
補充二：復合函式
如果y=f(u),(u∈m),u=g(x),(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)，(x∈a) 稱為f是g的復合函式。
7．函式單調性
（1）．增函式
設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意：1、函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
2、必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1，x2；當x1（2） 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(3).函式單調區間與單調性的判定方法
新課標人教A版高一數學必修1知識點總結
高中數學必修1知識點 第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1 集合的含義 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。2 集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性 2 元素的互異性 3 元素的無序性 說明 1 對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這...
新課標人教A版高一數學必修1知識點總結
1 定義 在平面直角座標系中，以函式 y f x x a 中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p x，y 的集合c，叫做函式 y f x x a 的圖象 c上每一點的座標 x，y 均滿足函式關係y f x 反過來，以滿足y f x 的每一組有序實數對x y為座標的點 x，y 均在c上 即記為c 圖象...
人教A版高一數學必修1知識點小結
第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1 集合的含義 某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。2 集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性 2 元素的互異性 3 元素的無序性 說明 1 對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。2...