「數形結合」思想在小學數學教學中應用的研究
龍游縣塔石鎮中心小學課題組
負責人：黃秀清成員：徐根鄭素瑩柴巧雲鄭麗萍
一、課題的現實背景與意義
（一）課題研究的現實背景
眾所周知數與形這兩個基本概念，是數學的兩塊基石，可以說全部數學大體上都是圍繞這兩個基本概念的提煉、演度、發展而展開的，在數學發展程序中，數和形常常結合一起，在內容上互相聯絡，在方法上互相滲透，在一定的條件下互相轉化。
數與形的內在聯絡，也使許多代數學和數學分析的課題具有鮮明的直觀性，而且往往由於借用了幾何術語或運用了與幾何的模擬從而開拓了新的發展方向，例如，線性代數正是借用了幾何中的空間，線性等概念與模擬方法，把自己充實起來，從而獲得了迅猛的發展。
數學學習，不單純是數的計算與形的研究，其中貫穿始終的是數學思想和數學方法。其中，「數形結合」無疑是比較重要的一種。「數」與「形」既是數學的兩個基本概念，也是數學學習的兩個重要基礎，它們分別發展的同時又互相滲透、互相啟發著，共同推動著數學科學的向前發展。
（二）研究本課題的現實意義
在現實世界中，數與形是不可分離地結合在一起的，這是直觀與抽象相結合、感知與思維相結合的體現。數與形相結合不僅是數學自身發展的需要，也是加深對數學知識的理解、發展智力、培養能力的需要。從表面上看來，中學數學內容可分為數與形兩大部分，中學代數是研究數和數量的學科，中學幾何是研究形和空間形式的學科，中學解析幾何是把數和形結合起來研究的學科，實際上，在小學數學教學中都滲透了數與形相結合的內容。
著名數學家華羅庚指出：「數缺形時少直觀，形缺數時難入微」，作為數學老師，應能認識到數形結合的思想所表現出來的思路上的靈活，過程上的簡便。在小學階段，雖然屬於數學的起步階段，但筆者認為滲透「數形結合」的意義有以下幾點。
首先，懂得 「數形結合」的方法就能更好地理解和掌握數學內容。
第二，懂得「數形結合」的方法有利於記憶。學生懂得「數形結合」的數學思想方法後，對於小學數學知識的理解性記憶是非常有益的。
第三，懂得「數形結合」的方法有利於數學能力的提高。如果小學數學教師在教學中注重「數形結合」思想的滲透，那麼，就能使學生學會正確思維的方法，從而促進學生數學能力的提高。
第四，「數形結合」的方法是聯結小學數學和中學數學的一條紅線。布魯納認為：「強調結構和原理的學習，能夠縮小『高階』知識和『初級』知識之間的間隙。
」一般地講，小學數學和中學數學的界限還是比較清楚的，小學數學中有許多概念在中學數學中要賦予新的涵義。而在中學數學中全部保留下來的內容只有小學數學思想方法及與之有關的內容，而「數形結合」是其中重要的方法之一。因此，小學數學思想方法是貫穿小學數學和中學數學的一條紐帶，「數形結合」更是連線小學數學與中學數學的一條紅絲帶。
二、國內外關於同類課題的研究綜述
早在數學蔭牙時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中，就把數和形結合起來了。早在宋元時期，我國古代數學家系統地引進了幾何問題代數化的方法，用代數式描述某些幾何特徵，把圖形中的幾何關係表達成代數式之間的代數關係，17世紀上半時，法國數學家笛卡幾通過座標系建立了數與形之間的聯絡，創立了解析幾何學，後來，幾何學中許多長期不得解決的問題，如尺規作圖三大不能問題等，最終也是借助於代數方法得到完滿的解決。
近來，在中學數學教學中研究得很多也比較透徹。雖然「數形結合」思想在小學數學教學中應用的研究還是很少，並且也不透徹。但其思想在中學數學教學中應用研究的經驗與借鑑為本項課題研究打下了良好的基礎。
三、課題研究的理論依據
思維是人腦對客觀現實間接、概括的反映，反映的是事物的本質和內在的規律性，是人類認識的高階階段。思維實現著從現象到本質、從感性到理性的轉化，使人達到對客觀事物的理性認識。人們通過思維，可以更深刻地把握事物，預見事物的發展程序和結果。
小學生的思維是其智力的核心部分，小學生思維的發展，是其智力發展的標誌和縮影。發展小學生的智力，主要應培養和訓練他們的思維能力。
小學生的思維特點是：由形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡，但這種抽象邏輯思維仍帶有很強的具體形象性。儘管孩子的抽象思維在逐步發展，但是仍然具有很大成分的具體形象性.。
因此，把比較抽象的幾何定理與代數公式硬塞給小學生，一般說來，不易被接受。然而，從小學
三、四年級以後，有意識地培養孩子的思維能力，更快地提高他們的思維水平卻是可能的。
數學是一門邏輯性、系統性很強的學科,前面知識的學習,往往是後面有關知識的孕伏和基礎,在新舊知識的聯絡上是非常緊密的。長期以來，由於人們忽視了形象思維在教學過程中的作用，使學科知識的理解過程脫離了學科思維方式的特點，使知識難以理解。為了培養更聰明和富有創造力的新一代，在教學中，不可忽視對學生的形象思維與邏輯思維的共同開發。
四、課題界定
「數形結合」是中學數學中比較重要的一種思想方法，其實質是將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，在數的問題與形的問題之間互相轉換，使數的問題圖形化，形的問題代數化，從而巧妙地解決貌似困難、複雜的問題，達到事半功倍的目的。而在小學，學生正處於形象思維與邏輯思維並肩發展的階段，在小學數學中，特別是新教材也滲透了「數形結合」的思想，在小學階段更是培養學生的「數形結合」的思想好時期。在小學數學教學中教師要有意識地溝通數、形之間的聯絡,幫助學生逐步樹立起「數形相結合」的觀點,並使這一觀點扎根到學生的認知結構中去,成為運用自如的思想觀念和思維工具。
五、課題研究的內容及目標
（一）課題研究的內容
1、小學生「數形結合」意識的現狀與分析
針對學生「數形結合」思想的現狀，分析影響其「數形結合」思想的因素，研究出提高學生「數形結合」思想的相關措施或策略。
2、「數形結合」思想在「數」、「形」教學中的應用
數學概念反映客觀事物空間形式與數量關係本質屬性，在某些數學概念中運用「數形結合」能幫助學生更好的掌握概念。
3「數形結合」思想在解題教學中的應用
在小學數學中，「數形結合」用得最多的是應用題的分析求解中，通常是將數量關係轉化成線段圖。然而，這並不是唯一的方式。實際上，在不同的問題中，可將數量關係轉化為不同的圖形。
4、總結出「數形結合」思想在教學應用中的培養方式。
（二）課題研究的目標
1、充分發展學生的形象思維與邏輯思維，培養學生全面的數學素質。
2、培養學生具有敏感、主動的「數形結合」意識，能夠根據需要去發現數學問題中的「數」與「形」，並且利用「數形結合」解決相關問題。
3、為中學及後來學習數學打下更紮實的基礎，有利於推進素質教育。
六、課題研究的方法與步驟
（一）研究方法
1、文獻研究法：查閱有關的理論書籍、文章，了解數形結合思想的內涵、發展情況和目前的研究成果等資訊，使本課題的研究內涵和外延更加豐富，更加明確，更加科學。
2、調查分析法：調查分析本校及周邊小學的數學教師和學生在數學的教與學中滲透「數形結合」思想的大致情況，通過對初中生數學學習的調查，了解小學數學與初中數學在「數形結合」方面的鏈結點及發展狀況。以增加研究的針對性和實效性。
在每學期末，採用情景調查與試卷調查的方法，檢驗科研成效。
3、行動研究法：將有關「數形結合」思想在數學課堂教學中的實踐與研究的初步成果再應用於實踐，是教師們在課題實施過程中遇到某個具體問題時，一起探尋解決問題的最好方法，也是本課題研究的主要方法。並在實踐與研究中不斷調整、補充、完善。
（二）研究步驟
1、準備階段 (2007.4――2007.5)
第一階段：實驗前調查分析，學校組織討論、分析有關數學教學中與學生「數形結合」思想培養有關的素材及因素，發掘已有的教學中學生「數形結合」思想培養的經驗，收集、提煉第一手資料。並建立組織、查閱文獻、尋找理論依據。
第二階段：組織教師學習有關培養學生「數形結合」思想方面的文獻資料，擬定自己的子課題方案，做好開題準備。
2、實施階段 (2007.9――2009.7)
第一階段：各子課題組實施研究，收集資料，完成階段性總結報告，反思研究過程並作修正、完善。
第二階段：繼續實施研究，在研究中不斷反思修正，對積累的材料進行分析，提煉、整合，定期進行學習、交流。
3、成果形成階段 (2009.7――2009.9)
形成課題研究成果，撰寫研究報告，編撰有關課題研究的**和音像資料，做好結題鑑定工作。
七、課題研究的成果及其分析
（一）提高學生「數形結合」思想的策略
目前我們使用的北師大教材，不把數學課劃分為「代數」、「幾何」，而是綜合為一門數學課，這樣更有利於「數」與「形」的結合。只是，教材雖然從低年級起就提供了「數形結合」教學的素材供老師們挖掘，但是對「數形結合」的教學目標過於隱諱，還不太突現，教學上沒有把學生「數形結合」的意識和能力培養作為數學教學的乙個重要目標。
大多教師雖已意識到「數形結合」思想的重要性，卻不知怎樣滲透、如何培養。學生對「數形結合」的策略一般只是被動的模仿，學生的這方面認知結構不像數學知識那樣系統化。因此數學教師在教學中要做好「數」與「形」關係的揭示與轉化，運用「數形結合」的方法，幫助學生模擬、發掘，剖析其所具有的幾何模型，這對於幫助學生深化思維，擴充套件知識，提高能力都有很大的幫助。
課題組研究出以下幾點提高學生「數形結合」思想的策略：
1、在教學過程中滲透同一思維原則，充分利用教材，挖掘教材素材。
教材中的數學知識，是前人認識的成果。學生學習時，通過認識活動把前人的認識成果轉化為自己的知識，所以學習是一種再認識過程，學習某項知識所用的思維方式，同前人獲得該項知識所用的思維方式應該是一致的。同一思維的原則，就是前人用什麼思維方式獲得的知識，學習時，要用同一種思維方式去掌握這些知識。
「數形結合」是抽象與直觀，思維與感知的結合，學習時就要把兩種思維結合起來去理解、掌握這些知識。因此，「數形結合」教學活動中正確地運用思維方式，有機地把兩種思維結合起來，是理解掌握知識的關鍵。此外，在教學中常思考：
如何在小學的不同年齡段安排不同的數形結合內容，以適應學生的思維發展和幾何直觀能力發展的需要？
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