求下列微分方程的通解

第一章緒論

例1-1 求下列微分方程的通解，並分別求滿足下列條件的特解。

（1）通過點；

（2）與直線相切；

（3）與直線正交。

解直接積分得方程的通解為。

（1）將得，則通過點解為。

（2）與直線相切的解滿足在切點處斜率相同，有，即得，切點座標為和。同（1）的解法，與直線相切的解為和。

（3）與直線正交的解在正交點處斜率滿足，即得，正交點座標為和。同（1）的解法所求方程的解為和。

評注：求方程滿足某條件的特解，關鍵要找到所求積分曲線經過的某一特定點的座標，代入通解中確定出任意常數即可得特解。

例1-2 求與曲線族正交的曲線族。

解因為曲線族滿足的微分方程為，所以與曲線族正交的曲線族滿足的微分方程為，解之得，這就是所求曲線族方程。

評注：首先對已給定的曲線族求得其滿足的微分方程，其次借助於正交性得到所求曲線族滿足的微分方程，再求解此微分方程。有時直接給出乙個微分方程，要求求得與此微分方程的積分曲線族正交（或夾角為某一固定值）的曲線族。

例1-3 求一曲線方程，使曲線上任一點平分過該點的法線在兩座標軸之間的線段。

解設所求的曲線為，過曲線上任一點的法線方程為

，它與軸的交點分別為，由題可得

，故這條曲線滿足方程

，即，解之得，這就是所求曲線方程。

評注：根據題目的具體已知條件和基本的數學公式及定理建立等式關係，注意切線與法線的特點及其關係，從而列出微分方程，經常會用到曲線在一點的斜率表示式、過該點的切線的橫截距和縱截距及過該點的法線的橫截距和縱截距等表示式。

例1-4質量為的物體在重力的作用下，沿鉛直線下落，物體下落距離（向下為正）隨時間而改變。在不考慮空氣阻力的情況下，試求出距離應滿足的微分方程。

解設在時刻物體下落的距離為，則按牛頓第二定律

（為重力加速度），，。

評注： 這是根據實際意義建立相應的微分方程模型來解決問題的，關鍵要掌握方程中各個變數的具體物理意義，例如，等等，再結合物理學中的基本定律和定理來建立方程。

緒論例1-1 求下列微分方程的通解，並分別求滿足下列條件的特解。

（1）通過點；

（2）與直線相切；

（3）與直線正交。

解直接積分得方程的通解為。

（1）將得，則通過點解為。

（2）與直線相切的解滿足在切點處斜率相同，有，即得，切點座標為和。

求下列微分方程的通解

第一章緒論 例1 1 求下列微分方程的通解，並分別求滿足下列條件的特解。1 通過點 2 與直線相切 3 與直線正交。解直接積分得方程的通解為。1 將得，則通過點解為。2 與直線相切的解滿足在切點處斜率相同，有，即得，切點座標為和。同 1 的解法，與直線相切的解為和。3 與直線正交的解在正交點處斜率滿...

微分方程總結

一 基本概念 微分方程 方程的階 方程的解 通解 特解 初始條件 積分曲線 階線性微分方程等.二 一階微分方程 1.可分離變數的微分方程 1 定義 形如的方程.2 解法 分離變數，兩邊同除，得，再積分可 得通解為 2.齊次方程 定義 形如的方程.解法 令，則，於是，原方程化為，整理為，積分為，再將代...

微分方程應用

目錄摘要 1 1 引言 2 2 常微分方程模型 2 2.1 建立常微分方程模型的方法和步驟 2 3 常微分方程模型示例 5 3.1 紅綠燈問題 5 3.2廣告模型 8 4 總結 10 參考文獻 11 常微分方程是在17世紀伴隨著微積分而發展起來的一門具有重要應用價值的學科.它是研究連續量變化規律的重...