2023年普通高等學校招生全國統一考試（重慶卷）
數學試題卷（理工農醫類）
數學試題（理工農醫類）共5頁．滿分150分．考試時間120分鐘．
注意事項：
1．答題前，務必將自己的姓名、准考證號填寫在答題卡規定的位置上．
2．答選擇題時，必須使用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號塗黑．如需改動，用橡皮擦擦乾淨後，再選塗其他答案標號．
3．答非選擇題時，必須使用公釐黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡上規定的位置上．
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．
5．考試結束後，將試題卷和答題卡一併交回．
參考公式：
如果事件互斥，那麼．
如果事件相互獨立，那麼．
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那麼次獨立重複試驗中恰好發生次的概率．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
2．在等差數列中，若，是數列的前項和，則的值為（ ）
3．過座標原點且與圓相切的直線的方程為（ ）
ａ．或或
ｃ．或或
4．對於任意的直線與平面，在平面內必有直線，使與（ ）
ａ．平行相交垂直互為異面直線
5．若的展開式中各項係數之和為，則展開式的常數項為（ ）
6．為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區名年齡為歲～歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下：
根據上圖可得這名學生中體重在的學生人數是（ ）
7．與向量的夾角相等，且模為的向量是（ ）或或
8．將名實習教師分配到高一年級的個班實習，每班至少名，最多名，則不同的分配方案有（ ）
ａ．種種種種
9．如圖所示，單位圓中弧的長為表示弧與弦所圍成的弓形面積的倍，則函式的圖象是（ ）
10．若且，則的最小值為（ ）
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填寫在答題卡相應位置上．
11．複數的值是 ．
12．．
13．已知，，則．
14．在數列中，若，則該數列的通項．
15．設，函式有最大值，則不等式的解集為 ．
16．已知變數滿足約束條件．若目標函式（其中）僅在點處取得最大值，則的取值範圍為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共76分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分13分）
設函式（其中），且的圖象在y軸右側的第乙個最高點的橫座標為．
（i）求的值；
（ii）如果在區間上的最小值為，求的值．
18．（本小題滿分13分）
某大廈的一部電梯從底層出發後只能在第18，19，20層可以停靠．若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為，用表示這5位乘客在第20層下電梯的人數，求：
（i） 隨機變數的分布列；
（ii）隨機變數的期望．
19．（本小題滿分13分）
如圖，在四稜錐中，底面，為直角，，分別為的中點．
（i）試證：平面；
（ii）設，且二面角的平面角大於，求的取值範圍．
20．（本小題滿分13分）
已知函式，其中為常數．
（i）若，討論函式的單調性；
（ii）若，且，試證：．
21．（本小題滿分12分）
已知定義域為的函式滿足．
（i）若，求；又若，求；
（ii）設有且僅有乙個實數，使得，求函式的解析表示式．
22．（本小題滿分12分）
已知一列橢圓：，，，若橢圓上有一點，使到右準線的距離是與的等差中項，其中分別是的左、右焦點．
（i）試證：；
（ii）取，並用表示的面積，試證：且．
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