「《數學週報》杯」2023年全國初中數學競賽
試題參***及評分標準
一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分．每小題均給出了代號為a，b，c，d的四個選項，其中有且只有乙個選項是正確的．請將正確選項的代號填入題後的括號裡. 不填、多填或錯填都得0分）
（1）已知實數滿足 ，則的值為（ a ）．
（a）7b） （c） （d）5
解：因為，≥0，由已知條件得
， ，所以7
（2）把一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先後投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為，則二次函式的圖象與x軸有兩個不同交點的概率是（ c ）．
（abcd）
解：基本事件總數有6×6＝36，即可以得到36個二次函式.
由題意知＝＞0，即＞4.
通過列舉知，滿足條件的有17對. 故.
（3）有兩個同心圓，大圓周上有4個不同的點，小圓周上有2個不同的點，則這6個點可以確定的不同直線最少有( b )．
（a）6條b） 8條c）10條 （d）12條
解：如圖，大圓周上有4個不同的點a，b，c，d，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個點e，f中，至少有乙個不是四邊形abcd的對角線ac與bd的交點，則它與a，b，c，d的連線中，至少有兩條不同於a，b，c，d的兩兩連線．從而這6個點可以確定的直線不少於8條．當這6個點如圖所示放置時，恰好可以確定8條直線．所以，滿足條件的6個點可以確定的直線最少有8條．
（4）已知是半徑為1的圓的一條弦，且．以為一邊在圓內作正△，點
為圓上不同於點a的一點，且，的
延長線交圓於點，則的長為（ b ）．
（a） （b）1
（cd）
解：如圖，連線oe，oa，ob． 設，
則．又因為，
所以≌，於是．
（5）將1，2，3，4，5這五個數字排成一排，最後乙個數是奇數，且使得其中任意連續三個數之和都能被這三個數中的第乙個數整除，那麼滿足要求的排法有（ d ）．
（a）2種 （b）3種 （c）4種 （d）5種
解：設是1，2，3，4，5的乙個滿足要求的排列．
首先，對於，不能有連續的兩個都是偶數，
否則，這兩個之後都是偶數，與已知條件矛盾．
又如果（1≤i≤3）是偶數，是奇數，則是奇數，
這說明乙個偶數後面一定要接兩個或兩個以上的奇數，
除非接的這個奇數是最後乙個數．
所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件：
2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．
二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）
（6）對於實數u，v，定義一種運算「*」為：．若關於x的方程有兩個不同的實數根，則滿足條件的實數a的取值範圍是
【答】，或．
解：由，得，
依題意有解得，，或．
（7）小王沿街勻速行走，發現每隔6分鐘從背後駛過一輛18路公交車,每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車．假設每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發一輛車，那麼發車間隔的時間是分鐘．
【答】4．
解：設18路公交車的速度是公尺/分，小王行走的速度是公尺/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為公尺．
每隔6分鐘從背後開過一輛18路公交車，則
每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則
由①，②可得 ，所以 ．
即18路公交車總站發車間隔的時間是4分鐘．
（8）如圖，在△中，ab=7，ac=11，點m是bc的中點， ad是∠bac 的平分線，mf∥ad，則fc的長為
【答】9．
解：如圖，設點n是ac的中點，連線mn，
則mn∥ab．又，
所以 ，
所以 ．
因此 9．
（9）△abc中，ab＝7，bc＝8，ca＝9，過△abc的內切圓圓心i作de∥bc，分別與ab，ac相交於點d，e，則de的長為
【答】．
解：如圖，設△abc的三邊長為a，b，c，內切圓i的半徑為r，bc邊上的高為，
則，所以 ．
因為△ade∽△abc，所以它們對應線段成比例，
因此 ，
所以，故．
（10）關於x，y的方程的所有正整數解為
【答】解：因為208是4的倍數，偶數的平方數除以4所得的餘數為0，奇數的平方數除以4所得的餘數為1，所以x，y都是偶數．
設，則，
同上可知，都是偶數．設，則，
所以，c，d都是偶數．設，則，
於是＝，其中s，t都是偶數．
所以≤．
所以可能為1，3，5，7，9，進而為337，329，313，289，257，故只能是＝289，從而＝7．有故
三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）
（11）在直角座標系xoy中，一次函式的圖象與軸、軸的正半軸分別交於a，b兩點，且使得△oab的面積值等於．
（ⅰ）用b表示k；
（ⅱ）求△面積的最小值．
解：（ⅰ）令，得；令，得．
所以a，b兩點的座標分別為，
於是，△oab的面積為．
由題意，有 ，
解得5分
（ⅱ）由（ⅰ）知
≥，當且僅當時， 有，
即當，時，不等式中的等號成立．
所以，△面積的最小值15分
（12）已知一次函式，二次函式． 是否存在二次函式，其圖象經過點（－5，2），且對於任意實數x的同乙個值，這三個函式所對應的函式值，，，都有≤≤成立？若存在，求出函式的解析式；若不存在，請說明理由．
解：存在滿足條件的二次函式．
因為 ≤0，
所以，當自變數取任意實數時，≤均成立．
由已知，二次函式的圖象經過點（－5，2），
得當時，有，．
由於對於自變數取任意實數時，≤≤均成立，
所以有2 ≤≤2，故． ②
由①，②，得 ，，所以．……… 5分
當≤時，有 ≤，
即 ≥0，
所以二次函式對於一切實數，函式值大於或等於零，
故即所以．……………… 10分
當≤時， 有 ≤，
即≥0，
所以二次函式對於一切實數，函式值大於或等於零，
故即所以
綜上，，， ．
所以，存在二次函式，在實數範圍內，對於的同乙個值，都有≤≤成立15分
（13）是否存在質數p，q，使得關於x的一元二次方程
有有理數根？
解：設方程有有理數根，則判別式為平方數．令，
其中n是乙個非負整數．則5分
由於1≤≤q+n，且與同奇偶，故同為偶數．
因此，有如下幾種可能情形：
消去n，
解得……………… 10分
對於第1，3種情形，，從而q＝5；
對於第2，5種情形，，從而q＝4（不合題意，捨去）；
對於第4種情形，q是合數（不合題意，捨去）．
又當，q＝5時，方程為，它的根為，它們都是有理數．
綜上所述，存在滿足題設的質數15分
（14）如圖，△的三邊長，都是整數，且的最大公約數為．點和點分別為△的重心和內心，且．求△的周長．
解：如圖，延長，與邊分
別交於．
設重心在邊上的投影分別
為，△的內切圓的半徑為，邊上的高的長分別為，易知cp＝cq，
由，可得，
即 ，從而可得10分
因為△的重心g和內心不重合，
所以，△不是正三角形，且，否則，，可得，矛盾．
不妨假設，由於，設，
於是，有為整數，
所以有，即．
於是只有時，可得，滿足條件．
因此有．
所以，△的周長為3515分
初中數學競賽方案
雲貴中學2011 2012學年度第一學期期中 數學知識競賽方案 一 活動目的 為開拓學生視野，促進同學們自主擴大學習範圍，並在其提高自身文化素養的同時發掘其多方面才華，使其個人能力得到全面提高，從而全面提高學生的學習積極性。特開展本次數學知識競賽活動。本次競賽旨在全心全意為同學服務，重在進一步豐富雲...
初中數學競賽輔導
函式的圖象 甲內容提要 1.函式的圖象定義 在直角座標系中，以自變數x為橫座標和以它的函式y 的對應值為縱座標的點的集合，叫做函式y f x 的圖象.例如一次函式y kx b k,b 是常數，k 0 的圖象是一條直線l.1 l 上的任一點p0 x0,y0 的座標，適合等式y kx b,即y0 kx0...
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