2023年全國初中數學競賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.）

1．已知非零實數a，b 滿足，則等於（）．（a）－1b）0c）1 （d）2

2．如圖，菱形abcd的邊長為a，點o是對角線ac上的一點，且oa＝a，ob＝oc＝od＝1，則a等於（）．

（a）（b）（c）1 （d）2

3．將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質地均勻的正方體骰子先後投擲兩次，記第一次擲出的點數為，第二次擲出的點數為，則使關於x，y的方程組只有正數解的概率為（）．

（abc）（d）

4．如圖所示，在直角梯形abcd中，ab∥dc，. 動點p從點b

出發，沿梯形的邊由b→c→d→a運動. 設點p運動的路程為x，△abp的面積為y. 把y看作x的函式，函式的影象如圖所示，則△abc的面積為（）．

（a）10 （b）16 （c）18 （d）32

5．關於x，y的方程整數解（x，y）的組數為（）．

（a）2組（b）3組（c）4組（d）無窮多組

二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）

6．乙個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km後報廢；若把它安裝在後輪，則自行車行駛 3000 km後報廢，行駛一定路程後可以交換前、後輪胎．如果交換前、後輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那麼這輛車將能行駛 km ．

7．已知線段ab的中點為c，以點a為圓心，ab的長為半徑作圓，**段ab的延長線上取點d，使得bd＝ac；再以點d為圓心，da的長為半徑作圓，與⊙a分別相交於f，g兩點，連線fg交ab於點h，則的值為．

8．已知是滿足條件的五個不同的整數，若是關於x的方程的整數根，則的值為

9．在△abc中，cd是高，ce為的平分線．若ac＝15，bc＝20，cd＝12，則ce的長等於

10．10個人圍成乙個圓圈做遊戲．遊戲的規則是：每個人心裡都想好乙個數，並把自己想好的數如實地告訴他兩旁的兩個人，然後每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數的平均數報出來．若報出來的數如圖所示，則報3的人心裡想的數是______

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11（a）．函式的影象與軸的兩個交點是否都在直線的右側？若是，請說明理由；若不一定是，請求出兩個交點都在直線的右側時k的取值範圍．

（b）．已知拋物線與動直線有公共點，

且.1 求實數t的取值範圍；

②當t為何值時，c取到最小值，並求出c的最小值.

12（a）．在平面直角座標系中，我們把橫座標為整數、縱座標為完全平方數的點稱為「好點」，求二次函式的影象上所有「好點」的座標．

（b）．已知正整數滿足，且，求滿足條件的所有可能的正整數的和．

13（a）．如圖，給定銳角三角形abc，，ad，be是它的兩條高，過點作△abc的外接圓的切線，過點d，e分別作的垂線，垂足分別為f，g．試比較線段df和eg的大小，並證明你的結論．

（b）．已知為⊙的直徑，弦，連線．過點作的垂線，與的延長線交於點，過點作的平行線交於點，過點作的平行線交於點．求證：．

14（a）．n個正整數滿足如下條件；

且中任意n－1個不同的數的算術平均數都是正整數．求n的最大值．（b）．已知正整數x，y使得是乙個奇數，證明：存在乙個正整數k，使得4k－1整除．