考試時間：2023年4月1日上午9：30—11：30
答題時注意：1．用原子筆或鋼筆作答．
2．解答書寫時不要超過裝訂線．
3．草稿紙不上交．
一、選擇題：（共5小題，每小題6分，滿分30分．以下每小題均給出了代號為a，b，c，d的四個選項，其中有且只有乙個選項是正確的．請將正確選項的代號填入題後的括號裡．不填、多填或錯填都得0分）
1．方程組的實數解的個數為（ ）
（a）1b）2c）3d）4
解：選（a）。當x≥0時，則有y－|y|=6,無解；當x<0時，則y＋|y|=18,解得：y=9,此時x=－3.
2．口袋中有20個球，其中白球9個，紅球5個，黑球6個．現從中任取10個球，使得白球不少於2個但不多於8個，紅球不少於2個，黑球不多於3個，那麼上述取法的種數是（ ）
（a）14b）16c）18d）20
解：選（b）。只用考慮紅球與黑球各有4種選擇：紅球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16種
3．已知、、是三個互不相等的實數，且三個關於的一元二次方程，
，恰有乙個公共實數根，則的值為（ ）
（a）0b）1c）2d）3
解：選（d）。設這三條方程唯一公共實數根為t，則，，
三式相加得：，因為，所以有a+b+c=0,從而有，
所以＝＝
4．已知△abc為銳角三角形，⊙o經過點b，c，且與邊ab，ac分別相
交於點d，e．若⊙o的半徑與△ade的外接圓的半徑相等，則⊙o一定經
過△abc的（ ）（a）內心 （b）外心 （c）重心 （d）垂心
解：選（b）。如圖△ade外接圓的圓心為點f，由題意知：⊙o與⊙f是等圓，
且弧dme＝弧dne，所以∠eab＝∠abe，∠dac＝∠acd，
即△abe與△acd都是等腰三角形。分別過點e，f作ab，ac邊上的垂線，
相交於點h，則點h是△abc的外心。又因為∠khd＝∠acd，
所以∠dhe+∠acd＝∠dhe+∠khd＝180°，即點h，d，c，e在同乙個圓上，
也即點h在⊙o上，因而⊙o經過△abc的外心。
5．方程的整數解，的個數是（ ）
（a）0b）1 （c）3d）無窮多
解：選（a）。原方程可變形為：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左邊是6的倍數，而右邊不是6的倍數。
二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）
6．如圖，點a，c都在函式的影象上，點b，d都在軸上，
且使得△oab， △bcd都是等邊三角形，則點d的座標為
解：填。設ob＝2a，bd＝2b，由△oab，△bcd都是等邊三角形，得
，把點a，c座標代入，解得：，
即7．如圖，在直角三角形abc中，∠acb = 90°，ca = 4．點p是半圓弧ac的中點，連線bp，線段bp把圖形apcb（指半圓和三角形abc組成的圖形）分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對值是
解：填4。
鏈結op，ob，則所求面積之差的絕對值＝＝2×2×2÷2＝4。
8．如圖，∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g =，則 ．
解：填6。如圖：∠a+∠e+∠f＝360°-∠α，∠b+∠c+∠g=360°-∠β，
所以∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠g＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠d
＝540°＝
9．已知點a，b的座標分別為（1，0），（2，0）．若二次函式
的影象與線段ab只有乙個交點，則的取值範圍是
解：填（1）若影象的頂點在ab上，則有解得：
（2）若影象的頂點在x軸下方，則有或
分別解之，得綜上，得：
10．已知對於任意正整數，都有，則 ．
解：填。由及得
所以，於是
三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）
11．已知拋物線：和拋物線：相交於ａ，ｂ兩點．點p在拋物線上，且位於點a和點b之間；點q在拋物線上，也位於點a和點b之間．
（1）求線段ab的長；
（2）當pq∥軸時，求pq長度的最大值．
解：(1)解方程組得
∴a(－2，6)、b(2，－6)
∴ab＝
(2)當pq∥軸時，p、q點的橫座標相同，可設為m（－2則p(m，―m2―3m＋4)，ｑ(m，m2―3m－4)
∴pq＝｜―m2―3m＋4－(m2―3m－4)｜＝｜2m2－8｜＝8－2m2
∴當m＝0時，pq長度取最大值8
12．已知，都是正整數，試問關於的方程是否有兩個整數解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明．
13．如圖，點e，f分別在四邊形abcd的邊ad，bc的延長線上，且滿足．若cd，fe的延長線相交於點g，△deg的外接圓與△cfg的外接圓的另乙個交點為點p，連線pa，pb，pc，pd．求證：（1）；
（2）△pab∽△pdc．
證明：（1）鏈結pe、pf
∵∠pfc=∠pgc=∠ped
∠cpf=∠cgf=∠dpe
∴△pde∽△pcf
∴ 又∵
∴（2）∵△pde∽△pcf ∴∠pde=∠bcd 又∵
∴△pad∽△pbc ∴∠apd=∠bpc
∴∠cpd=∠bpa ∴△pab∽△pdc
14．（1）是否存在正整數，，使得？
（2）設是給定的正整數，是否存在正整數，，使得？
2023年全國初中數學競賽試題
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答題時注意 1 用原子筆或鋼筆作答 2 解答書寫時不要超過裝訂線 3 草稿紙不上交.一 選擇題 共5小題，每小題7分，共35分.以下每道小題均給出了代號為a，b，c，d的四個選項，其中有且只有乙個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題後的括號裡，不填 多填或錯填都得0分 1.小王在做數學題時，發現下...