1 平面區域的確定
1．1 不等式的區域
我們把滿足不等式f(x，y)＞0的點(x，y)的集合稱為不等式f(x，y)＞0的區域．對於不等式f(x，y)＞0，如果方程f(x，y)=0確定平面內一實曲線，則曲線把平面分成若干個區域g1，g2，…．
在每乙個區域內任取一點，座標滿足f(x，y)＞0的區域的並集，即為原不等式的區域．
為方便起見，我們常選取一些簡單的特殊點(如座標原點等)來計算f(x，y)的值．
例如，求x2＞2y2＋1的區域．
先畫出x2=2y2＋1的曲線(圖1)，然後用原點(0，0)代入原不等式，不能成立，再取(2，0)代入原不等式，能成立．故x2＞2y2＋1所表示區域為雙曲線「內部」(含焦點部分)．
1．2 不等式組的區域
我們把同時滿足若干個不等式的點的集合叫做這些不等式構成的不等式組的區域．
不等式組的區域是不等式中每乙個不等式區域的交集．為方便起見，我們也可以通過用特殊點法求出每乙個小區域內有關式子的符號，來判斷不等式組的區域．
例如，求不等式(y－x＋1)(2x－y－3)＞0所表示的區域．
首先作出兩直線y－x＋1=0與2x－y－3＝0的圖象(圖2)，它們將平面分成四個部分．為確定(y－x＋1)(2x－y－3)＞0的區域，可以用兩種方法．
不等式y－x＋1＞0可化為y＞x－1，表示直線y－x＋1=0的「上方」；同樣，2x－y－3＞0表示直線2x－y－3=0的「下方」．所以不等式組(1)表示的區域為圖2中的區域ⅰ，不等式組(2)表示區域ⅲ．故本題所表示的區域為將ⅰ、ⅲ兩部分合併而成的區域．
方法2：分別在四個區域內選取特殊點，如區域ⅰ內選點(4，4)，區域ⅱ內選點(0，0)，區域ⅲ內選點(0，－2)，區域ⅳ內選點(2，0)，分別代入檢驗，以確定符合條件的區域範圍．
對於含有複數的不等式組，可結合複數幾何意義來確定平面區域．
集合a=表示以(1，0)為圓心，以1為半徑的圓內區域(含圓)，b
圖3中的陰影部分(含曲線和線段oa1，但不含線段ob)．
學生解題時，常將a∩b表示為第一象限內的弓形區域部分，而忽視了下半圓區域的存在．
2 平面區域問題例舉
2．1 平面區域的單純性題型
這類問題是只需根據題意作出所要求的平面區域範圍，便可直接求解的單純性問題．
例1 已知三個集合m，n，p，m＝，n=，b=，c=是平面xoy內的點的集合，討論是否存在a和b，使
(2)(a，b)∈c同時成立．(2023年高考試題)
解 a=為直線y=ax＋b(其中a，b為引數)上橫座標取整數的點，b=為拋物線y=3x2+15
δ=a2＋12b－180≥0， (1)
為了進一步研究，可以在直角座標系中畫出不等式a2＋12b－180≥0的區域，再
例5 已知方程x2＋px＋q＝0有兩實數根α和β，且α2＋β2＝1，求p和q的範圍．
解建立直角座標系，適合p2－4q≥0的p，q的值是圖9中陰影部分(含曲線)的點的座標．因為α2＋β2=1，即(α＋β)2－2αβ=1．所以p2＝2q＋1．而適合等式p2=2q＋1的p和q的值為拋物線p2＝2q＋1上點的座標，由圖9可知，所求p和q的範圍即為拋物線p2＝2q＋1上a，b兩點間的一段弧上的點的座標的集合．
解此類問題時，要注意隱含條件的挖掘(如本題中α，β是二次方程兩個實根，即判別式「p2－4q≥0」)．忽視了此條件，可能會導致變數取值範圍的擴大．
2．3 利用圖形區域，求變數組合式的範圍
對於這類問題，可首先求出滿足題設條件的平面區域，然後就求其最大值的式子x＋2y構造幾何意義，從幾何角度上給出解答．
例7 在座標平面內有兩個區域m和n，m是由y≥0，y≤x和y≤2－x這個不等式組確定，n是隨t變化的區域，它由不等式t≤x≤t＋1所確定，t的取值範圍是0≤t≤1．設函式z＝13x＋6y，其中x，y滿足(x，y)∈m∩n，求z的最大值．
解首先作出區域m如圖11(1)中的陰影部分(含邊界)所示，區域n是座標平面內帶形區域(含邊界)，如圖11(2)中的陰影部分所示．
因為0≤t≤1，所以m∩n的區域不固定，但m∩n區域的全體即為區域
13·2＋6·0＝26．若根據題意構造出的平面區域是可變化的，則應就它的變動情況進行分類，然後才能如例7那樣作出討論．
例8 已知函式f(x)=ax2－c滿足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的範圍．
建立直角座標系(圖12)，橫座標表示為a，縱座標表示為c，則不等式組表示區域為平行四邊形efgh區域(圖12中的陰影部分含邊界)．現作直線系9a－c＝m，－m表示直線繫在c軸上的截距，當直線系通過e(0，1)與g(3，7)時，m取得最小值與最大值，即－20≤m≤1．
∴－1≤9a－c≤20．
這是一道有一定難度的關於二元一次不等式組表示區域的最大(小)值題．學生解題錯誤較多，例如將雙聯不等式組當作方程解出a與c的取值範圍(雙聯不等式)，然後求9a－c的範圍，使求解區域擴大了，而若作出區域，直接在給定區域內討論9a－c的範圍，便可避免擴大範圍的錯誤．
以上列舉了平面區域問題的三種基本型別，中學數學中所見到的主要就是這些型別．其他有關平面區域問題，也大都可以轉化為以上型別予以解決．所以理解並掌握這三種基本型別題的解題方法與解題規律，是解決平面區域問題的關鍵．
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