名師作業·練全能
第三十七講雙曲線
班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題後的括號內．)
1．(2010·全國ⅰ)已知f1、f2為雙曲線c：x2－y2＝1的左、右焦點，點p在c上，∠f1pf2＝60°，則|pf1|·|pf2|＝( )
a．2b．4
c．6 d．8
解析：由題意得s△f1pf2＝b2cot＝1×cot30°＝，又s△f1pf2＝|pf1|·|pf2|·sin60°＝，則|pf1|·|pf2|＝4，故選b.
答案：b
2．(2010·浙江)設f1、f2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點p，滿足|pf2|＝|f1f2|，且f2到直線pf1的距離等於雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為( )
a．3x±4y＝0 b．3x±5y＝0
c．4x±3y＝0 d．5x±4y＝0
解析：設pf1的中點為m，由於|pf2|＝|f1f2|，
故f2m⊥pf1，即|f2m|＝2a，
在直角三角形f1f2m中，|f1m|＝＝2b，
故|pf1|＝4b，
根據雙曲線的定義得4b－2c＝2a，得2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，
故雙曲線的漸近線方程是y＝±x，即y＝±x，即4x±3y＝0.
答案：c
3．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為f，右準線與一條漸近線交於點a，△oaf的面積為(o 為原點)，則兩條漸近線的夾角為( )
a．30° b．45°
c．60° d．90°
解析：依題意作圖如下：
顯然a，∴s△oaf＝·＝·c·＝＝，
∴a＝b，即夾角為45°＋45°＝90°.
答案：d
4．設雙曲線－＝1(0a．2 b.
c. d.
解析：由題意得直線l方程為＋＝1，
∴原點到l的距離d＝＝c.
又∵c2＝a2＋b2.∴ab＝c2
∴4·＝·，∴4＝e2.
∴3e4－16e2＋16＝0.解得e＝2或e＝.
∵0.答案：a
5．(2010·天津)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的乙個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為( )
a.－＝1 b.－＝1
c.－＝1 d.－＝1
解析：由題意可知，解得，因此選b.
答案：b
6．(2010·福建)若點o和點f(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a>0)的中心和左焦點，點p為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值範圍為( )
a．[3－2b．[3＋2，＋∞)
cd．[，＋∞)
解析：∵a2＝(－2)2－1＝3，故雙曲線方程為－y2＝1，設點p的座標為(x1，y1)(x1≥)，
則－y12＝1，∴·＝(x1，y1)·(x1＋2，y1)＝x12＋2x1＋y12＝x12＋2x1＋－1＝＋2x1－1，
因函式f(x1)＝＋2x1－1在[，＋∞]上單調遞增，故f(x)≥＋2－1＝3＋2，應選b.
答案：b
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題後的橫線上．)
7．(2010·北京卷)已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點與橢圓＋＝1的焦點相同，那麼雙曲線的焦點座標為________；漸近線方程為________．
解析：橢圓的焦點座標為(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且滿足＝2，故a＝2，b＝＝2.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
答案：(4,0)，(－4,0) y＝±x
8．已知平面內有一固定線段ab，其長度為4，o為ab的中點，動點p滿足－＝3，則的最大值是______．
解析：由雙曲線的定義，可知動點p的軌跡為以a、b兩點為焦點，3為2a的雙曲線靠近點b的一支，顯然的最小值為a，故的最大值為.
答案：9．點p是雙曲線c1：－＝1(a＞0，b＞0)和圓c2：
x2＋y2＝a2＋b2的乙個交點，且2∠pf1f2＝∠pf2f1，其中f1，f2是雙曲線c1的兩個焦點，則雙曲線c1的離心率為
解析：由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則∠f1pf2＝，易知∠pf1f2＝30°，∠pf2f1＝60°＝，2＝，
e＝＝＝＝＝＋1.
答案：＋1
10．以下四個關於圓錐曲線的命題中：
①設a、b為兩個定點，k為非零常數，若||－||＝k，則動點p的軌跡為雙曲線；②過定圓c上一定點a作圓的動弦ab，o為座標原點，若＝(＋)，則動點p的軌跡為橢圓；③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線－＝1與橢圓＋y2＝1有相同的焦點．
其中真命題的序號為______(寫出所有真命題的序號)．
解析：①錯誤，當k＞0且k＜|ab|，表示以a、b為焦點的雙曲線的一支；當k＞0且k＝|ab|時表示一條射線；當k＞0且k＞|ab|時，不表示任何圖形；當k＜0時，類似同上．②錯誤，p是ab中點，且p到圓心與a的距離平方和為定值．故p的軌跡應為圓．③④正確，很易驗證．
答案：③④
點評：多選題的特點是知識點分散，涉及面廣，且只有每乙個小題都做對時才得分．故為易錯題，要求平時掌握知識點一定要準確，運算要細緻．
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．雙曲線的中心為原點o，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1、l2，經過右焦點f做垂直於l1的直線分別交l1、l2於a、b兩點．已知||、||、||成等差數列，且與同向．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)設ab被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．
解析：(1)因為2||＝||＋||，
又||2＋||2＝||2，
因此有||2＝||2＋2，
化簡有(5||－30.
於是得tan∠aob＝.
又與同向，故∠aof＝∠aob，
所以＝，
解得tan∠aof＝或tan∠aof＝－2(捨去)．
因此＝tan∠aof＝，
a＝2b，c＝＝b，
所以雙曲線的離心率e＝＝.
(2)由a＝2b知，雙曲線的方程可化為x2－4y2＝4b2.①
由l1的斜率為，c＝b知，
直線ab的方程為y＝－2(x－b)．②
將②代入①並化簡，得15x2－32 bx＋84b2＝0.
設ab與雙曲線的兩交點的座標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1·x2＝＝.
於是ab被雙曲線截得的線段長
l＝·|x1－x2|＝＝
＝b.而已知l＝4，所以b＝4，得b＝3，a＝6.
故雙曲線的方程為－＝1.
12．點p是以f1，f2為焦點的雙曲線e：－＝1(a>0，b>0)上的一點，已知pf1⊥pf2，|pf1|＝2|pf2|，o為座標原點．
(1)求雙曲線的離心率e；
(2)過點p作直線分別與雙曲線兩漸近線相交於p1，p2兩點，且·＝－，2＋＝0，求雙曲線e的方程．
解析：(1)∵|pf1|＝2|pf2|，|pf1|－|pf2|＝2a，
∴|pf1|＝4a，|pf2|＝2a.
∵pf1⊥pf2，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，∴e＝.
(2)由(1)知雙曲線的方程可設為－＝1，漸近線方程為y＝±2x.
設p1(x1,2x1)，p2(x2，－2x2)，p(x，y)，
∵·＝－3x1x2＝－x1x2＝，
∵2＋＝0
∵點p在雙曲線上，∴ －＝1，
化簡得x1x2＝，∴ ＝a2＝2，
∴雙曲線方程為－＝1.
13．(2010·全國ⅱ)已知斜率為1的直線l與雙曲線c：－＝1(a>0，b>0)相交於b、d兩點，且bd的中點為m(1,3)．
(1)求c的離心率；
(2)設c的右頂點為a，右焦點為f，|df|·|bf|＝17，求證：過a、b、d三點的圓與x軸相切．
解析：(1)由題意知，l的方程為y＝x＋2.
代入c的方程，並化簡，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
設b(x1，y1)、d(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1·x2＝－，①
由m(1,3)為bd的中點知＝1，故×＝1，
即b2＝3a2，②
故c＝＝2a，
所以c的離心率e＝＝2.
(2)證明：由①②知，c的方程為：3x2－y2＝3a2，
a(a,0)，f(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，
故不妨設x1≤－a，x2≥a.
|bf|＝＝
＝a－2x1，
|fd|＝＝
＝2x2－a，
|bf|·|fd|＝(a－2x1)(2x2－a)＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|bf|·|fd|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1或a＝－(捨去)．
故|bd|＝|x1－x2|＝·＝6.
鏈結ma，則由a(1,0)，m(1,3)知|ma|＝3，
從而ma＝mb＝md，且ma⊥x軸，
因此以m為圓心，ma為半徑的圓經過a、b、d三點，且在點a處與x軸相切．
所以過a、b、d三點的圓與x軸相切．
第6講雙曲線
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第47節雙曲線
第六節雙曲線 1 雙曲線的定義 平面內與兩個定點f1，f2的距離的差的絕對值等於非零常數 小於 f1f2 的點的軌跡叫做雙曲線 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距 集合p f1f2 2c，其中a，c為常數且a 0，c 0.1 當2a f1f2 時，p點的軌跡是雙曲線 2 當2...
2023年數學一輪複習試題第41講 雙曲線
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