（聚焦2008）第4講：函式的解析式和定義域
一、知識梳理
（一）知識框圖
（二）重點難點
重點：（1）函式的定義域和求法；（2）求函式的解析式；（3）將應用問題轉化為數學問題。
難點：（1）復合函式的定義域；（2）含參函式的定義域；（3）利用函式性質求函式的解析式。
二、考點解讀與例題
（一）掌握基本初等函式定義域和求法
確定函式的定義域有以下幾種情況：
（1）當f（x）是整數時，定義域為r；
（2）當f（x）是分式時，定義域是使分母不為0的x取值的集合；
（3）當f（x）是偶次根式時，定義域是使被開方式取非負的x取值的集合；
（4）當f（x）是零指數冪或負數指數冪時，定義域是使冪的底數不為0的x取值的集合；
（5）當f（x）是對數式時，定義域是使真數大於0且底數為不等於1的正數的x的取值的集合；
（6）三角函式中的正切函式y=tanx（x∈r且x≠kπ+，k∈z），餘切函式y=cotx（x∈r且x≠kπ，k∈z）。
（7）當f（x）是由n個數學式子組成的，定義域是使各個式子都有意義的x取值的集合；
（8）當f（x）表示實際問題中的函式關係時，還應考慮在這一實際問題中x取值的意義。
【例1】求下列函式的定義域：
（1）y=；（2）y=+lgcosx。
【分析】
（二）復合函式的定義域的求法
（1）已知原函式y=f（x）的定義域，求復合函式f[g（x）]的定義域；
【例2】已知函式y=f（x）的定義域為[－1，1]，求函式f（x）=f（1－x）+f（1－x2）的定義域。
【解析】依題意，－1≤x≤1，所以函式f（x）=f（1－x）+f（1－x2）的定義域應滿足－1≤1－x≤1且－1≤1－x2≤1，從而解得0≤x≤。
【例3】已知函式y=f（x）的定義域為[a，b]且a+b＞0，求下列函式的定義域：
（1）g（x）=f（x）－f（－x）；
（2）h（x）=f（x+m）+f（x－m）。
（2）已知復合函式f[g（x）]的定義域，求原函式y=f（x）的定義域；
若已知f[g（x）]的定義域為x∈（a，b），求f（x）的定義域，其方法是：利用a＞x＞b，求得g(x)的範圍，則g（x）的範圍即是f（x）的定義域；若已知f（x）的定義域為x∈（a，b），求f[g（x）]的定義域，其方法為：
由a＜g(x)＜b求得x的範圍，即為f[g（x）]的定義域。
【例4】（1）已知函式f（x2）的定義域為[－1，1]，求函式f（x）的定義域；
（2）已知函式f（x2－2）的定義域為[－3，2]，求函式f（x）的定義域。
【答案】（1）函式f（x）的定義域為[0，1]；（2）函式f（x）的定義域為[－2，7]。
（3）已知復合函式f[g（x）]的定義域，求復合函式y=f[h（x）]的定義域；
【例5】已知函式y=f（2x）的定義域為[－1，1]，求函式y=f（log2x）的定義域。
（4）已知y=f（x）的定義域，求引數的取值範圍。
【例6】已知函式f（x）=的定義域為r，求實數m的取值範圍。
【分析】本題應依照m是否為零進行討論。
【答案】實數m的取值範圍是[0，1]
【例7】（1）已知函式f（x）=lg[（a2－1）x2+（a+1）x+1]的定義域為r，求實數a的取值範圍。
【分析】本題應依照對數有意義和實數a是否為±1進行討論。
【答案】實數m的取值範圍是－∞，－1∪（，+∞）
（2）已知函式f（x）=lg[（ax2+ax+1）的定義域為r，求實數a的取值範圍。
【答案】實數m的取值範圍是0，4。
（三）函式解析式的求法
（1）用配湊法和換元法求函式解析式
如果已知復合函式f[g（x）]的表示式，要求f（x）的解析式時，若f[g（x）]表示式右邊易配成g（x）的運算形式，則可用配湊法。當然，亦可用換元法求f（x）的解析式。但要注意，無論是配湊法還是換元法，所求函式的定義域必須滿足兩個條件：
是函式t=g（x）的值域且使f（x）的解析式有意義。
【例8】（1）已知函式f（x+）=x3+，求y=f（x）。
（2）已知函式f（1－cosx）=sin2x，求y=f（x）。
（2）待定函式法求函式解析式
已知函式的模型（如指數函式、一次函式、二次函式等），一般的方法是設出函式的解析式，然後根據題設條件求待定係數。
【例9】已知函式f（x）=x2，g（x）為一次函式，且是增函式，若f[g（x）]=4x2－20x+15，求y=g（x）的解析式。
【例10】已知二次函式滿足f（3x+1）=9x2－6x+5，求y=f（x）的解析式。
（3）用賦值法（消元法）求函式解析式
求抽象函式的解析式，有時要通過取特殊值，亦可以變數換變數，然後通過解方程組求出解析式f（x）。
【例11】已知af（x）+bf（）=cx（a、b、c∈r，ab≠0，a2≠b2），求y=f（x）的解析式。
【例12】已知f（x）=a1x+a2x 2+a3x 3+…+anxn，n為正偶數，且a1，a2，a3，…，an組成等差數列，f（1）=n2，f（－1）=n，求y=f（x）的解析式。
6、運用函式的性質求其解析式
函式的解析式和求解方法除上述幾種基本方法外，有時也充分利用函式的有關性質，求其解析式，這在高考中經常出現。
【例13】已知f（x）是r上的奇函式，且當x∈（－∞，0）時，f（x）=－xlg（2－x），求y=f（x）的解析式。
【例14】（上海高考試題）已知f（x）是定義在r上的偶函式，當x≤－1時，y=f（x）的影象經過點（－2，0），斜率為1的射線，又在y=f（x）的影象中有一部分是頂點在（0，2），且過點（－1，1）的一段拋物線。試寫出函式y=f（x）的解析式，並作出其影象。
7、實際應用問題
應用問題多在知識的交匯點處命題，常常涉及到代數、三角、幾何等知識，因此，在函式部分複習時，既要重視應用問題中函式模型的構建，又要重視知識的綜合運用，重視綜合、分析能力的培養。
【例14】為了節約用水，某市打算出台一項水費收費政策措施，規定每季度每人用水量不超過5噸時，每噸水費收基本價1.3元，若超過5噸而不超過6噸時，超過部分的水費加收200%，若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費加收400%，若某人本季度實際用水量為x（x≤7）噸，試計算本季度他應繳多少水費？
【例15】某家產品去年各季度的市場**如下表：
今年該公司計畫按去年各季度市場價的「最佳近似值m」（m是與上表中各獸價差的平方和取最小值時的值）收購該種農產品，並按每100元納稅10元（又稱徵稅率為10個百分點），計畫可收購a萬擔，**為鼓勵收購公司多收購這種農產品，決定將稅率降低x個百分點，**購量可增加2x個百分點。
（1）根據題中的條件填空，m
（2）寫出稅收y（萬元）與x的函式關係式；
（3）若要使此項稅收在稅率調節後不少於原計畫稅收的83.2%，試確定x的取值範圍。
函式的解析式定義域和值域
函式的解析式的求法 一 換元法配湊法 題1 已知f 3x 1 4x 3,求f x 的解析式.練習1 若,求.題2 已知,求的解析式.練習2 若,求.二 待定係數法 題3 設是一元二次函式,且,求與.三 解方程組法 題4 設函式是定義 0 0,在上的函式,且滿足關係式,求的解析式.練習4 若,求.五 ...
第8課時函式的解析式及定義域
一 課題 二 教學目標 掌握求函式解析式的三種常用方法 待定係數法 配湊法 換元法，能將一些簡單實際問題中的函式的解析式表示出來 掌握定義域的常見求法及其在實際中的應用 三 教學重點 能根據函式所具有的某些性質或所滿足的一些關係，列出函式關係式 含字母引數的函式，求其定義域要對字母引數分類討論 實際...
函式的定義域和值域
第一講求函式的定義域和值域的方法 函式是刻畫客觀事物發展變化，反映變數之間的相互依賴關係的一種數學模型.函式有著極為豐富的現實存在背景，在科學研究和社會實踐中的應用十分廣泛，無論是在研究物體的運動變化 經濟發展的規律，還是在處理社會生活問題中，都離不開函式，函式也是近代數學的重要基礎，因此，函式的知...