教學內容概要
教學內容
【知識精講】
一、函式的概念
1、函式的定義：設是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係，使對於集合中的任意乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼就稱為從集合到集合的乙個函式。記作：。
其中，叫做自變數，的取值範圍叫做函式的定義域；與的值相對應的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
2、函式的三要素分別指函式的定義域 、 值域 、 對應法則 ；
當兩個函式的定義域 、 對應法則分別相同時，那麼這兩個函式是同一函式。
3、函式的表示方法一般有解析法 、 列表法 、 影象法
當影象滿足和的影象最多只有乙個交點時才可作為函式影象。
分段函式：
在用解析法表示函式的時候，往往在其定義域的不同子集上，因對應法則不同而用幾個式子來表示的函式即分段函式。分段函式是乙個函式，而不是幾個函式。在解決問題過程中，要處理好整體與區域性的關係。
4、函式的運算：
對於兩個函式，，設
把函式叫做函式與的和函式
把函式叫做函式與的積函式
6、復合函式：
對於兩個函式，，若滿足的的取值範圍為，設，把函式叫做函式，的復合函式，是復合函式的自變數，定義域為，叫做內函式，叫做外函式。
二、函式定義域的求法
求定義域時注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次根式的被開方數非負；
（3）對數的真數大於零；
（4）零次冪的底數不為零。
三、求函式值域的各種方法
函式的值域是由其對應法則和定義域共同決定的，其型別依解析式的特點分可分三類：
(1)求常見函式值域；
(2)求由常見函式復合而成的函式的值域；
(3)求由常見函式作某些「運算」而得函式的值域。
以下為總結的常用函式值域的求解方法：
（1）直接法：利用常見函式的值域來求
一次函式y=ax+b(a0)的定義域為r，值域為r；
反比例函式的定義域為，值域為；
二次函式的定義域為r，
當a>0時，值域為{}；
當a<0時，值域為{}
（2）配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；常轉化為型如：的形式；
（3）分式轉化法（或改為「分離常數法」）
（4）換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想；
（5）三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式，運用三角函式有界性來求值域；
（6）基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；
（7）單調性法：函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域
（8）數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域
（9）根的判別式法：
（10）逆求法（反函式法）：通過反解，用來表示，再由的取值範圍，通過解不等式，得出的取值範圍；常用來解，型如：
【經典例題】
題型一函式的基本概念
例1、試判斷以下各組函式是否表示同一函式？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
剖析：對於兩個函式y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函式.若兩個函式表示同一函式，則它們的圖象完全相同，反之亦然.
解：（1）由於f（x）==|x|，g（x）==x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函式.
（2）由於函式f（x）=的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為r，所以它們不是同一函式.
（3）由於當n∈n*時，2n±1為奇數，∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函式.
（4）由於函式f（x）=的定義域為，而g（x）=的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一函式.
（5）函式的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函式.
評述：（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函式，原因是對函式的概念理解不透.要知道，在函式的定義域及對應法則f不變的條件下，自變數變換字母，以至變換成其他字母的表示式，這對於函式本身並無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函式.
（2）對於兩個函式來講，只要函式的三要素中有一要素不相同，則這兩個函式就不可能是同一函式.
例2、設函式，則不等式的解集是（ ）
ab.cd.
答案 a
解析由已知，函式先增後減再增
當，令解得。
當，故 ，解得
【考點定位】本試題考查分段函式的單調性問題的運用。以及一元二次不等式的求解
例3、（1）已知函式那麼的值為
（2）函式對於任意實數滿足條件，若則
解：（1）
（2）由得，
所以，則。
點評：通過對抽象函式的限制條件，變數換元得到函式解析式，考察學生的邏輯思維能力。
例4、設定義在n上的函式f（x）滿足
，試求的值.
解：∵2002＞2000，
∴f（2002）=f［f（2002－18）］=f［f（1984）］=f［1984+13］=f（1997）=1997+13=2010.
題型二函式定義域的求法
例5、求下述函式的定義域：
（1）；
（2）解：（1），解得函式定義域為.
（2） ，（先對a進行分類討論，然後對k進行分類討論），
①當a=0時，函式定義域為；
②當時，得，
1）當時，函式定義域為，
2）當時，函式定義域為，
3）當時，函式定義域為；
③當時，得，
1）當時，函式定義域為，
2）當時，函式定義域為，
3）當時，函式定義域為。
點評：在這裡只需要根據解析式有意義，列出不等式，但第（2）小題的解析式中含有引數，要對引數的取值進行討論，考察學生分類討論的能力
例6、已知函式定義域為(0，2)，求下列函式的定義域：
(1) ；(2)。
解：（1）由0＜x＜2， 得
點評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函式f[g(x)]的定義域關鍵在於理解復合函式的意義，用好換元法；求函式定義域的第三種型別是一些數學問題或實際問題中產生的函式關係，求其定義域，後面還會涉及到
題型三函式解析式的求法
例7、（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函式，且滿足，求；
（4）已知滿足，求。
（5）恆成立，且，求。
解：（1）∵，
∴（或）。
（2）令（），則，
∴，。（3）設，
則，∴，，
∴。（4） ①，
把①中的換成，得 ②，
①②得，
∴（5）法一：令
法二： 令， 答案：
點評：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函式，可用待定係數法；第（4）題用方程組法。
題型四函式值域的求法
例8、求下列函式的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）。
解：（1）（配方法），
∴的值域為
改題：求函式，的值域。
解：（利用函式的單調性）函式在上單調增，
∴當時，原函式有最小值為；當時，原函式有最大值為
∴函式，的值域為。
（2）求復合函式的值域：
設（），則原函式可化為。
又∵，∴，故，
∴的值域為
（3）（法一）反函式法：
的反函式為，其定義域為，
∴原函式的值域為
（法二）分離變數法：，
∵，∴，
∴函式的值域為。
（4）換元法（代數換元法）：設，則，
∴原函式可化為，∴，
∴原函式值域為
注：總結型值域，
變形：或
（5）三角換元法：
∵，∴設，
則∵，∴，∴，
∴，∴原函式的值域為
（6）數形結合法：，
∴，∴函式值域為。
（7）判別式法：∵恆成立，∴函式的定義域為。
由得： ①
①當即時，①即，∴
②當即時，∵時方程恒有實根，
∴△，∴且，
∴原函式的值域為。
（8），
∵，∴，
∴，當且僅當時，即時等號成立。
∴，∴原函式的值域為。
（9）（法一）方程法：原函式可化為：，
∴（其中），
∴，∴， ∴，
∴， ∴原函式的值域為。
點評：上面討論了用初等方法求函式值域的一些常見型別與方法，在現行的中學數學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函式的最大與最小值，在後面的複習中要作詳盡的討論。
例9、已知函式
(1)若
(2)若上一定存在最大值還是最小值，並求之。
解：(1)令
奇函式(2) 是奇函式
例10、對於定義域為實數集r的函式
(1)若
(2)在(1)的條件下，求函式的值域
(3)若函式的值域恰為[-1,4]，求實數a的值
解：(1)
(2)函式的定義域為全體實數，由
綜上得，函式的值域為[-4,1]
(3)由得
函式的值域為恰為[-1,4]
【拓展提高】
例11、設函式，
（1）求函式的定義域；
（2）問是否存在最大值與最小值？如果存在，請把它寫出來；如果不存在，請說明理由。
解：（1）由，解得 ①
當時，①不等式解集為；
當時，①不等式解集為，
∴的定義域為
（2）原函式即，
當，即時，函式既無最大值又無最小值；
當，即時，函式有最大值，但無最小值
例12、據調查，某地區100萬從事傳統農業的農民，人均收入3000元，為了增加農民的收入，當地**積極引進資本，建立各種加工企業，對當地的農產品進行深加工，同時吸收當地部分農民進入加工企業工作，據估計，如果有x(x＞0)萬人進企業工作，那麼剩下從事傳統農業的農民的人均收入有望提高2x%，而進入企業工作的農民的人均收入為3000a元（a＞0）。
（1）在建立加工企業後，要使從事傳統農業的農民的年總收入不低於加工企業建立前的農民的年總收入，試求x的取值範圍；
（2）在（i）的條件下，當地**應該如何引導農民（即x多大時），能使這100萬農民的人均年收入達到最大。
函式定義域 值域求法總結
一 定義域是函式y f x 中的自變數x的範圍。求函式的定義域需要從這幾個方面入手 1 分母不為零 2 偶次根式的被開方數非負。3 對數中的真數部分大於0。4 指數 對數的底數大於0，且不等於1 5 y tanx中x k 2 y cotx中x k 等等。6 中x 二 值域是函式y f x 中y的取值...
函式定義域 值域求法總結
一 定義域是函式y f x 中的自變數x的範圍。求函式的定義域需要從這幾個方面入手 1 分母不為零 2 偶次根式的被開方數非負。3 對數中的真數部分大於0。4 指數 對數的底數大於0，且不等於1 5 y tanx中x k 2 y cotx中x k 等等。6 中x 二 值域是函式y f x 中y的取值...
函式定義域 值域求法總結
一 定義域是函式y f x 中的自變數x的範圍。求函式的定義域需要從這幾個方面入手 1 分母不為零 2 偶次根式的被開方數非負。3 對數中的真數部分大於0。4 指數 對數的底數大於0，且不等於1 5 y 中 y 中x k 等等。6 中x 二 值域是函式y f x 中y的取值範圍。常用的求值域的方法 ...