2010高教社杯全國大學生數學建模競賽
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自習教室開放的優化管理方案
摘要本文針對大學用電浪費嚴重的情況，重點討論了關於晚自習教室如何開放的問題。首先我們對所給資料進行了預處理，結合自習室開放的條件，建立0-1整數規劃模型，並採用lingo軟體對模型進行求解。
在問題一中，要求在自習室開放最少的前提下，既要達到學生的滿意度要求，又要節約用電，從而設計出最佳的自習室開放方案，這是乙個簡單優化問題。故首先我們對所給資料進行預處理，然後根據題意和已知條件，把總用電量最少作為目標函式，又綜合考慮了上自習的學生人數、教室座位以及用電資源等因素，最終建立出0-1規劃模型，運用lingo軟體進行求解，最終得到最優化的自習室開放方案（第二類的教室開放乙個，第三類教室和第四類教室全部開放）。該方案每小時的耗電的總功率為：
；具體方案見模型的建立與求解。
問題二將問題進一步深化，教室開放的次序發生了變化，則我們優先考慮各個自習區總的教室數是否滿足學生上自習的人數，之後把總的自習室用電量作為目標函式，在滿足各項約束條件下，來設計教室的開放問題，具體詳解見模型的建立與求解。
在問題三中，我們運用同問題一相同的方法思路，建立目標函式和約束條件，從而建立優化模型；最終運用lingo軟體程式設計得到最優方案，具體結果為：第一類教室開放的個數為3個，第二類和第三類教室全部開放，第四類教室開放1個；該方案每小時的耗電的總功率為：。然後由於問題條件的深入，我們又對模型做了進一步的分析優化。
最後，本文針對所建立的模型的不足進行了改進說明，使所建立的模型更加合理、正確，同時也增加了模型的適用性和推廣性。
關鍵詞：0-1整數規劃目標函式滿意度 lingo軟體
一、問題重述
1.1問題的背景與條件
近年來，大學用電浪費比較嚴重，集中體現在學生上晚自習上，一種情況是去某個教室上自習的人比較少，但是教室內的燈卻全部開啟，第二種情況是晚上自習的總人數比較少，但是開放的教室比較多，這要求我們提供一種最節約、最合理的管理方法。
下面是數計學院的教室相關資料：
其中前3類教室均勻分布在3個樓層，第四類在3樓；管理人員只需要每天晚上開一部分教室供學生上自習，每天晚上從7：00—10：00開放(如果哪個教室被開放，則假設此教室的所有燈管全部開啟)。
1.2需要解決的問題
1）、假如我院有1000名同學，每個同學是否上自習相互獨立，上自習的可能性為0．6。要使需要上自習的同學滿足程度不低於90％，開放的教室滿座率不低於4／5，同時盡量不超過90％．問該安排哪些教室開放，能達到節約用電的目的。
2）、假設現有的26個教室分為3個自習區，第一類為第一區，第二類及第四類為第二區，第三類為第三區。教室的開放次序先開放第一區，在開放第二區，最後考慮第三區教室。在滿足問題1條件下，教室開放情況又是如何？
3）、假設臨近期末，上自習的人數突然增多，每個同學上自習的可能性增大為0.85，要使需要上自習的同學滿足程度不低於99％，開放的教室滿座率不低於4／5，同時盡量不超過95％。應該怎樣開放教室？
若假設每個教室中每個燈管照亮座位的情況是一致的，開放的教室可以只打
開部分燈管，這時的各種情況的教室開放情況又是如何？
二、模型的假設
1）假設每個教室晚自習開放時間相同，因此我們以乙個小時的用電功率來衡量用電量；
2）假設教室所有的座位完好，且環境相同，不存在同學願不願去坐的狀況；
3）假設教室的燈管都完好；
4）假設學生去上自習概率不受外界客觀因素的影響，如天氣，病假等；
5）假設學生到各個教室的意願相同，無不想去的教室；
6）假設學生上晚自習的時間相同，不存在早退晚回的情況；
7）假設每位同學僅佔乙個座位；
8）假設僅考慮正常上課的情況，不考慮假期教室空閒、臨近考試階段緊張複習
等因素；
三、符號的說明
1）:表示第個教室是否開放（0表示不開放，1則表示為開放）；
2）：表示第個教室的用電總功率；
3）：表示上自習的學生數；
4）：表示第個教室的座位數；
5）：表示所有開放教室的用電總功率；
6）：表示所有開放教室的總的座位數：
四、問題的分析
根據我們對題目的理解與分析，本題目的問題是在滿足每題要求的前提情況下，設計出教室開放的最節約，最合理的優化方案，從而達到節約用電並且滿足同學們需求度。以下是我們對每乙個問題所進行的分析。
4.1 問題一的分析：
經分析，問題一的目標很明確，即以節約用電（總功率最少）為目標，通過安排是否教室的開放設計出乙個最優化的合理方案。因此我們考慮引入0-1變數，運用0-1整數規劃模型建立目標函式，再以題目中所給滿座率要求得出約束條件，最後用lingo程式設計求解出教室管理安排的最優方案。
4.2 問題二的分析：
經考慮，首先考慮第一區的教室數是否滿足學生上自習的人數，然後再建立目標函式，求解出最優解，並且我們應該考慮到兩個方面，一是對學校來講，節約用電是最優目的，即所使用電的總功率最小；而對於學生來說，應該盡可能的提高學生的滿意度，達到學生的需求。
4.3 問題三的分析：
由於臨近考試，學生上自習的人數增加，滿意程度增大，所以我們還是按照和問題一相同的思路進行求解，使滿意度盡可能地大的情況下，考慮到省電的原則做適當調整，最後用lingo程式設計求解選擇出教室最優管理安排方案。之後又由於問題的深化，我們又做了進一步的優化（詳細見問題5.3.
4）。五、模型的建立與求解
5.1問題一模型的建立與求解
5.1.1約束條件的確立：
根據條件，學院有1000名同學，總計四類教室，總共有26間，根據題目中有關資料，我們做了以下的資料預處理，詳細見表一，
表一而每個同學是否上自習是相互獨立，上自習的可能性為0.6，且要使需要上自習的同學滿足程度不低於90％，所以上自習的人數至少為：
人；因為要求開放的教室滿座率不低於，同時盡量不超過，所以我們確立的約束條件為：
5.1.2目標函式的確立：
根據我們所考慮分析的，我們想引入0-1變數的方法代表教室是否開放：
;則目標函式為：
；5.1.3模型的建立：
綜合上述，我們得出0-1整數規劃模型的標準形式如下：
目標函式：
；約束條件：
；5.1.4模型的求解：
根據模型，我們利用lingo軟體程式設計（見附錄）求解出教室管理的最優方案如下：開放第二類的教室數量是乙個，第三類教室和第四類教室全部開放。該方案每小時的耗電的總功率為：。
5.2問題二模型的建立與求解
5.2.1模型的準備：
因為現將的26個教室分為3個自習區，第一類為第一區，第二類及第四類為第二區，第三類為第三區。教室的開放次序先開放第一區，再開放第二區，最後考慮第三區教室。可是經我們計算第一區的所有教室數的總的座位數為：
個；而又有問題一的條件可知：每個同學是否上自習是相互獨立的，上自習的可能性為0.6，且要使需要上自習的同學滿足程度不低於90％，所以上自習的人數至少為：
人，顯然我們可得：第一區的座位數就能滿足學生的上自習的要求，所以我們考慮就只開放第一區的教室。
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