1.若定義在r上的函式對任意的，都有成立，且當時，。
（1）求證：為奇函式；
（2）求證：是r上的增函式；
（3）若，解不等式．
1）證明：定義在r上的函式對任意的，
都有成立
令1分）
令3分）
∴為奇函式4分）
（2）證明：由（1）知：為奇函式， ∴ （5分）任取，且，則∵∴
∵當時，，
8分）∴是r上的增函式9分）
（3）解：∵，且
10分）
由不等式，得 （11分）
由（2）知：是r上的增函式
13分）
∴不等式的解集為14分）
2．已知定義域為r的函式滿足．
（1）若，求；又若，求；
（2）設有且僅有乙個實數，使得，求函式的解析表示式．解 （1） ∵對任意有，
∴，又由，∴．
若，∴，即．
（2） ∵對任意有，
又有且僅有乙個實數，使得，
∴對任意有，
在上式中令，有，
又∵，∴，即或。
若，則，即，但方程有兩個不同的實數根，與題設條件矛盾；若，則，即，滿足條件，
∴滿足條件的函式．
3．已知集合d=，其中k為正常數．
（1）設，求的取值範圍；
（2）求證：當時不等式對任意恆成立；
（3）求使不等式對任意恆成立的k的範圍．
解 （1），當且僅當時等號成立，
故的取值範圍為．
（2），由，又，
∴上是增函式，
∴．（3）由（2）知，若對任意恆成立，則，而，在上遞減，在上單調遞增，
∴要使在上恆成立，必有，解之得．
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