(1)復平面的定義
建立了直角座標系來表示複數的平面叫做復平面 ，x軸叫做實軸 ，y軸叫做虛軸 ．實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
(2)複數與點、向量間的對應
①複數z＝a＋bi(a，b∈r) 復平面內的點 z(a，b) ；
②複數z＝a＋bi(a，b∈r) 平面向量____＝(a，b)_____．
2．複數的模
複數z＝a＋bi(a，b∈r)對應的向量為，則的模叫做複數z的模，記作|z|，且|z|＝______.
3．共軛複數
當兩個複數實部相等 ，虛部互為相反數時，這兩個複數叫做互為共軛複數，複數z的共軛複數用表示，即z＝a＋bi，那麼＝a－bi ，當複數z＝a＋bi的虛部b＝0時，有__ z＝__，也就是說，任一實數的共軛複數仍是它本身 .
小結建立了直角座標系來表示複數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．
問題2 怎樣定義複數z的模？它有什麼意義？
答覆數z＝a＋bi(a，b∈r)的模就是向量＝(a，b)的模，記作|z|或|a＋bi|.
|z|＝|a＋bi|＝可以表示點z(a，b)到原點的距離．
例2 已知複數z＝3＋ai，且|z|<4，求實數a的取值範圍．
解方法一 ∵z＝3＋ai(a∈r)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
方法二利用復數的幾何意義，由|z|<4知，
z在復平面內對應的點在以原點為圓心，以
4為半徑的圓內(不包括邊界)，
由z＝3＋ai知z對應的點在直線x＝3上，
所以線段ab(除去端點)為動點z的集合．
由圖可知：－小結利用模的定義將複數模的條件轉化為其實虛部滿足的條件，是一種複數問題實數化思想；根據複數模的意義，結合圖形，可利用平面幾何知識解答本題．
跟蹤訓練3 設z∈c，滿足下列條件的點z的集合是什麼圖形？
(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.
解方法一 (1)複數z的模等於2，這表明向量的長度等於2，即點z到原點的距離等於2，因此滿足條件|z|＝2的點z的集合是以原點o為圓心，以2為半徑的圓．
(2)滿足條件|z|≤3的點z的集合是以原點o為圓心，以3為半徑的圓及其內部．
方法二設z＝x＋yi(x，y∈r)．
(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
∴點z的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓．
(2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9.
∴點z的集合是以原點為圓心，以3為半徑的圓及其內部．
1．復數的幾何意義有兩種：複數和復平面內的點一一對應，複數和復平面內以原點為起點的向量一一對應；
2．研究複數的問題可利用複數問題實數化思想轉化為複數的實虛部的問題，也可以結合圖形利用幾何關係考慮．
例2 如圖所示，平行四邊形oabc的頂點o，a，c分別表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)表示的複數；
(2)對角線表示的複數；
(3)對角線表示的複數．
解 (1)因為＝－，所以表示的複數為－3－2i.
(2)因為＝－，所以對角線表示的複數為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因為對角線＝＋，所以對角線表示的複數為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
小結複數的加減法可以轉化為向量的加減法．
跟蹤訓練2 複數z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它們在復平面上的對應點是乙個正方形的三個頂點，求這個正方形的第四個頂點對應的複數．
解設複數z1，z2，z3在復平面內所對應的點
分別為a，b，c，正方形的第四個頂點d對
應的複數為x＋yi(x，y∈r)，如圖．
則＝－＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
＝－＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i.
∴，解得，
故點d對應的複數為2－i.
**點三複數加減法的綜合應用
例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解方法一設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈r)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1， (a－c)2＋(b－d)2＝1由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝
＝＝.方法二設o為座標原點，
z1，z2，z1＋z2對應的點分別為a，b，c.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△oab是邊長為1的正三角形，
∴四邊形oacb是乙個內角為60°，邊長為1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的較長的對角線oc的長，
∴|z1＋z2|＝||
＝＝.小結 (1)設出複數z＝x＋yi(x，y∈r)，利用複數相等或模的概念，可把條件轉化為x，y滿足的關係式，利用方程思想求解，這是本章「複數問題實數化」思想的應用．
(2)在復平面內，z1，z2對應的點為a，b，z1＋z2對應的點為c，o為座標原點，則四邊形oacb①為平行四邊形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形oacb為矩形；③若|z1|＝|z2|，則四邊形oacb為菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形oacb為正方形．
跟蹤訓練3 本例中，若條件變成|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.求|z1－z2|.
解由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，
知z1，z2，z1＋z2對應的點是乙個邊長為1的正方形的三個頂點，所求|z1－z2|是這個正方形的一條對角線長，所以|z1－z2|＝.
1．複數的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈r)，
則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．複數乘法的運算律
對任意複數z1、z2、z3∈c，有
3．複數的除法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
則＝＝__＋i
**點二共軛複數及其應用
問題共軛複數有哪些性質，這些性質有什麼作用？
答 (1)在復平面上，兩個共軛複數對應的點關於實軸對稱．
(2)實數的共軛複數是它本身，即z＝z∈r，利用這個性質可證明乙個複數為實數．
(3)若z≠0且z＋＝0，則z為純虛數，利用這個性質，可證明乙個複數為純虛數．
(4)①z·＝|z|2＝||2；②＝2；③＝·.
例2 已知複數z滿足|z|＝1，且(3＋4i)z是純虛數，求z的共軛複數.
解設z＝a＋bi(a，b∈r)，則＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1
因為(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是純虛數，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0
由①②聯立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
小結本題使用了複數問題實數化思想，運用待定係數法，化解了問題的難點．
1．複數代數形式的乘除運算
(1)複數代數形式的乘法類似於多項式乘以多項式，複數的乘法滿**換律、結合律以及乘法對加法的分配律．
(2)在進行複數代數形式的除法運算時，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛複數，化簡後可得，類似於以前學習的分母有理化．
2．共軛複數的性質可以用來解決一些複數問題．
3．複數問題實數化思想．
複數問題實數化是解決複數問題的基本思想方法，其橋梁是設複數z＝a＋bi(a，b∈r)，利用複數相等的充要條件轉化.
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