知識：函式f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是過曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))的
導函式y＝f′(x)的值域即為
注意：(1)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質特徵，若直線與曲線只有乙個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點．
(2)曲線未必在其切線的「同側」，如曲線y＝x3在其過(0,0)點的切線y＝0的兩側．
2．曲線的切線的求法：
若已知曲線過點p(x0，y0)，求曲線過點p的切線則需分點p(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解．
(1)點p(x0，y0)是切點的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)當點p(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成：
第一步：設出切點座標p′(x1，f(x1))；
第二步：寫出過p′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：將點p的座標(x0，y0)代入切線方程求出x1；
第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點p(x0，y0)的切線方程．
典型題：已知曲線y＝x3＋.
(1)求曲線在點p(2,4)處的切線方程；
(2)求曲線過點p(2,4)的切線方程；
(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程．
(1)∵p(2,4)在曲線y＝x3＋上，且y′＝x2，∴在點p(2,4)處的切線的斜率為k＝4.
∴曲線在點p(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)設曲線y＝x3＋與過點p(2,4)的切線相切於點a，則切線的斜率為k＝x.
∴切線方程為y－＝x (x－x0)，即y＝x·x－x＋.
∵點p(2,4)在切線上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
(3)設切點為(x0，y0)，則切線的斜率為：x＝1，x0＝±1.切點為(－1,1)或，
∴切線方程為y－1＝x＋1或y－＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.
變式：求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程．
練習：1.若函式f(x)＝ex＋ae－x的導函式是奇函式，並且曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫座標是
ab．－ln 2
cd．ln 2
2.若曲線y＝x－在點(a，a－)處的切線與兩個座標軸圍成的三角形的面積為18，則a等於
a．64b．32c．16d．8
故選a3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為
a．4x－y－3＝0b．x＋4y－5＝0
c．4x－y＋3＝0d．x＋4y＋3＝0
故選a4．已知點p在曲線y＝上，α為曲線在點p處的切線的傾斜角，則α的取值範圍是
abcd.
5.若曲線f(x)＝acos x與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(0，m)處有公切線，則a＋b的值為( )
a．－1 b．0
c．1 d．2
解析：選c 依題意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，於是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，b＝0；m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
6.若點p是曲線f(x)＝x2－ln x上任意一點，則點p到直線y＝x－2的最小距離為________．
7.設點p是曲線y＝－x2－3x－3上的乙個動點，則以p為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是
8.若曲線f(x)＝ax5＋ln x存在垂直於y軸的切線，則實數a的取值範圍是________．
解析 ∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由題意知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(00)．∴a∈(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
9. 已知函式f(x)在r上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在x＝1處的切線斜率是________.
解析 ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，∴x＝1時，f(1)＝2f(1)－1＋8－8，
∴f(1)＝1，即點(1,1)，在曲線y＝f(x)上．又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8，
x＝1時，f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，∴f′(1)＝2.答案 2
10.已知函式f(x)＝x2－aln x(a∈r)．
(1)若函式f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值；
(2)若函式f(x)在(1，＋∞)上為增函式，求a的取值範圍．
（1），
（2），若函式f(x)在(1，＋∞)上為增函式，所以
11. 已知函式f(x)＝其中a是實數．設a(x1，f(x1))，b(x2，f(x2))為該函式影象上的兩點，且x1＜x2.
(1)指出函式f(x)的單調區間；
(2)若函式f(x)的影象在點a，b處的切線互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；
(3)若函式f(x)的影象在點a，b處的切線重合，求a的取值範圍．
解：(1)函式f(x)的單調遞減區間為(－∞，－1)，單調遞增區間為[－1,0)，(0，＋∞)．
(2)由導數的幾何意義可知，點a處的切線斜率為f′(x1)，點b處的切線斜率為f′(x2)，故當點a處的切線與點b處的切線垂直時，有f′(x1)f′(x2)＝－1.
當x＜0時，對函式f(x)求導，得f′(x)＝2x＋2.
因為x1＜x2＜0，所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0,2x2＋2＞0.
因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥＝1，
當且僅當－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－且x2＝－時等號成立．
所以函式f(x)的影象在點a，b處的切線互相垂直時，x2－x1的最小值為1.
(3)當x1＜x2＜0或x2＞x1＞0時，f′(x1)≠f′(x2)，故x1＜0＜x2.
當x1＜0時，函式f(x)的影象在點(x1，f(x1))處的切線方程為y－(x＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)，
即y＝(2x1＋2)x－x＋a.
當x2＞0時，函式f(x)的影象在點(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.
兩切線重合的充要條件是
由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0.由①②得，a＝x＋ln－1＝x－ln(2x1＋2)－1.
設h(x1)＝x－ln(2x1＋2)－1(－1＜x1＜0)，則h′(x1)＝2x1－＜0.
所以h(x1)(－1＜x1＜0)是減函式．則h(x1)＞h(0)＝－ln 2－1，
所以a＞－ln 2－1.又當x1∈(－1,0)且趨近於－1時，h(x1)無限增大，
所以a的取值範圍是(－ln 2－1，＋∞)．
故當函式f(x)的影象在點a，b處的切線重合時，a的取值範圍是(－ln 2－1，＋∞)．
抽象函式的導數
注意：運算性質
1.對於r上可導的任意函式f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有( )．
a．f(0)＋f(2)<2f(1) b．f(0)＋f(2)≤2f(1)
c．f(0)＋f(2)≥2f(1) d．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析不等式(x－1)f′(x)≥0等價於或
可知f(x)在(－∞，1)上遞減，(1，＋∞)上遞增，或者f(x)為常數函式，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．答案 c
2.已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函式，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0.對任意的0a．af(b)≤bf(a) b．bf(a)≤af(b)
c．af(a)≤f(b) d．bf(b)≤f(a)
解析：選a 因為xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，則函式在(0，＋∞)上單調遞減．由於03.定義在上的函式f(x)，f′(x)是它的導函式，且恒有f(x)a.
f>f b．f(1)<2fsin 1
c. f>f d. f解析：選d 由f(x)4.已知是可導的函式，且對於恆成立，則( )
a． b．
c． d．
【答案】d
【解析】
試題分析:令，則，所以函式是單調減函式，所以，即,
故.5.設函式 （ ）
a．有極大值,無極小值 b．有極小值,無極大值
c．既有極大值又有極小值 d．既無極大值也無極小值
答案：d
由已知， 。在已知中令，並將代入，得；因為，兩邊乘以後令。求導並將（1）式代入，，顯然時，，減；時，，增；並且由（2）式知，所以為的最小值，即，所以，在時得（僅在x=2時，f（x）的導數為零），所以為增函式，故沒有極大值也沒有極小值。
恆成立及證明問題：
1.設f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.
(1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥m成立，求滿足上述條件的最大整數m；
(2)如果對於任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值範圍．
解：(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥m成立，等價於[g(x1)－g(x2)]max≥m.
∵g(x)＝x3－x2－3，∴g′(x)＝3x2－2x＝3x.
∴g(x)，g′(x)隨x變化的情況如下表：
由上表可知g(x)min＝g＝－，g(x)max＝g(2)＝1.
導數的幾何意義
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