2.2.3 向量數乘運算及其幾何意義
【教學導引】
1.理解並掌握向量數乘的定義及其幾何意義,會作向量ma+nb.
2.熟練掌握和運用向量數乘的運算律,會化簡向量關係式,並能用已知向量表示未知向量.
3.掌握向量共線定理,會判定或證明兩個向量共線.
【知識點】
1.向量的數乘
名師點撥
1.實數與向量可以進行數乘運算,其結果是乙個向量,不是實數;但實數與向量不能進行加減運算,如λ+a,λ-a是錯誤的.
2.對於任意非零向量a,向a同向的單位向量.向a方向相反的單位向量.
3.λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小到原來的|λ|倍.
2.向量數乘的運算律
向量的數乘運算滿足下列運算律:
設λ,μ為實數,則
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).
特別地,我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
知識拓展
在△abc中,d是bc的中點,則
3.共線向量定理
向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有唯一乙個實數λ,使b=λa.
歸納總結
1.向量共線的條件:當向量a=0時,a與任一向量b共線;當向量a≠0時,對於向量b,如果有乙個實數λ,使b=λa,則由實數與向量的積的定義知b與a共線.
反之,已知向量b與a(a≠0)共線且向量b的長度是向量a長度的λ倍,即|b|=λ|a|,則當b與a同方向時b=λa,當b與a反方向時b=-λa.
2.若b=λa(a≠0),則|λ|
3.如果非零向量a與b不共線,且λa=μb,那麼λ=μ=0.
共線向量定理的應用
剖析:共線向量定理可以分為兩個定理:
判定定理:如果存在乙個實數λ滿足b=λa(a≠0),那麼a∥b.
性質定理:如果a∥b,a≠0,那麼存在唯一乙個實數λ,使得b=λa.
(1)判定定理的結論是a∥b,則用共線向量定理可以證明兩個向量共線.此時證明向量a∥b,只需找到滿足a=λb或b=λa的實數λ的值即可.
(2)判定定理的結論是a∥b,則ab時,有o,a,b三點共線,即用共線向量定理可以證明三點共線.即三點共線問題通常轉化為向量共線問題.
(3)判定定理的結論是a∥b,當a和b所在的直線分別是直線m和n時,則有直線m,n平行或重合.即用共線向量定理可以證明兩條直線平行.
例如:如圖,已知△abc中,d,e分別是邊ab,ac上的點,並且ad=xab,ae=xac,0求證:de∥bc,且de=xbc.
證明:∵ad=xab,ae=xac,
∴de∥bc,且de=xbc.
(4)性質定理的結論是b=λa,則有|b|=|λ|·|a|, ab時, ob=|λ|oa.即用共線向量定理可以證明兩條平行線段間的長度關係.
例如:在平行四邊形oacb中,bd ba相交於e.求證:be
【例1】計算:(1)3(6a+b)-
(2(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
分析:綜合運用實數與向量的運算律解題.
解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原a
=aa0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
反思向量的數乘運算類似於代數式的運算,主要是「合併同類項」「提取公因式」,但這裡的「同類項」「公因式」指向量,實數看作是向量的係數.
【變式訓練1】計算下列各式:
(1)4(a+b)-3(a-b);
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
(3a-b) a+4b) a+13b).
解:(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.
(3a-b) a+4b) a+13b)
=0·a+0·b=0+0=0.
【例2】已知在abcd中,m,n分別是dc,bc的中點. e1e2,試用e1,e2表
分析:由於mn e1與e2表△amn中,ao是mn邊上的中線,則可
解:∵m,n分別是dc和bc的中點,
∴mne2-e1, e2-2e1.
又ao是△amn的中線,
反思用已知向量表示未知向量時,通常要結合圖形的特點,把未知向量放到三角形或平行四邊形中,適當選擇向量的加法、減法和數乘運算來求解.有時可借助於共線向量來解決(如本題
【變式訓練2】(1)點c**段ab上,
ac.(2)在abcd中mn,試用m,n表
(1)解析:如圖,
∴點c是ab的乙個五等分點.
,答案:d
(2) m, n,②
∴①+②, m+n,
∴m+n, m+n).
①-②, m-n,
∴m-n, m-n).
【例3】已知向量a,b,如圖,求作向量2a-3b.
解:步驟如下:
(1)作向ab.如圖.
(2)連線ba, .
反思已知a,b,求作向量ma+nb時,先作出向量ma與nb,再借助三角形法則或平行四邊形法則作出ma+nb.
【變式訓練3】
已知向量a和向量b,求作向量:
(1a;
(2)2a-b.
解:(1) a ab, a.如圖1.
圖1圖2
(2) ab,連線ab, a-b.
如圖2.
【例4】已知非零向量a,b不共線.
(1)若a+ba+8ba-b),求證:a,b,d三點共線;
(2)欲使ka+b和a+kb共線,試確定實數k的值.
分析:對於(1),欲證a,b,d三點共線,只需證存在實數λ, ;對於(2),由於ka+b與a+kb共線,根據向量共線定理,存在實數λ,使ka+b=λ(a+kb),因此借助等式兩邊a,b的係數,列方程組可解得k的值.
(1) a+b,
a+8b+3a-3b=5(a+b)=
,且有公共點b,
∴a,b,d三點共線.
(2)解:∵ka+b與a+kb共線,
∴存在實數λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb,
由於a與b不共線, k=±1.
反思1.證明三點共線,往往要轉化為證明過同一點的兩條有向線段所表示的向量共線,如本例題(1).
2.已知向量ma+nb與ka+pb(a與b不共線)共線求引數的值的步驟:
(1)設ma+nb=λ(ka+pb);
(2)整理,得ma+nb=λka+λpb,
(3)解方程組得引數的值,如本例題(2).
【變式訓練4】設e1,e2是兩個不共線的向量. e1+10e2e1+8e2e1-e2),求證:a,b,d三點共線.
e1+8e2+3(e1-e2)=e1+5e2e1+10e2, b,∴a,b,d三點共線.
向量數乘運算及其幾何意義
1.已知，則下列命題正確的是 ab cd 2.下面幾個命題 對於實數m和向量 恒有 對於實數m n和向量，恒有 對於實數m和向量 若 對於實數m n和向量，若 其中正確命題的個數是 a 4 b 3 c 2 d 1 3.設a是任一向量,e是單位向量,且a e,則下列表示式中正確的是 ab.c.d.4....
2 2 1向量加法運算及其幾何意義
溫故知新 1.既有 又有 的量叫做向量.向量可以用 線段來表示，但起點字母必須放在終點字母的 手寫體上面的 不能漏寫.2或的非零向量叫做平行向量，零向量與任一向量 3且的向量叫做相等向量.4.平行向量也叫 表示兩個非零平行向量的有向線段所在直線的位置關係是 或 教材新知 1.求兩個向量 的運算，叫做...
《向量的加法運算及其幾何意義》教案
2.2.1向量加法運算及其幾何意義 知識目標 1 掌握向量的加法運算，並理解其幾何意義 2 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的 和，培養數形結合解決問題的能力 3 通過將向量運算與熟悉的數的運算進行模擬，使學生掌握向 量加法運算的交換律和結合律，並會用它們進行向量計算，滲透模擬的數...