考點9 導數的幾何意義以及應用
【考點分類】
熱點一導數的幾何意義
1.【2023年普通高等學校統一考試試題大綱全國文科】已知曲線在點處切線的斜率為8，（ ）[**:學科網zxxk]
（a） （b） （c） （d）
2.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（廣東卷）理】若曲線在點處的切線平行於軸,則______.
3.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）文科】若曲線在點（1，2）處的切線經過座標原點，則
4.【2023年普通高等學校招生全國統一考試(江西卷)理】設函式在內可導，且則
5.（2023年高考（課標文））曲線在點(1,1)處的切線方程為________
【答案】
【方法總結】
求曲線的切線方程有兩種情況，一是求曲線y＝f(x)在點p(x0，y0)處的切線方程，其方法如下：
(1)求出函式y＝f(x)在點x＝x0處的導數，即曲線y＝f(x)在點p(x0，f(x0))處切線的斜率．
(2)在已知切點座標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．如果曲線y＝f(x)在點p(x0，f(x0))處的切線平行於y軸，由切線定義可知，切線方程為x＝x0.
二是求曲線y＝f(x)過點p(x0，y0)的切線方程，其方法如下：
(1)設切點a(xa，f(xa))，求切線的斜率k＝f′(xa)，寫出切線方程．
(2)把p(x0，y0)的座標代入切線方程，建立關於xa的方程，解得xa的值，進而寫出切線方程．
熱點二導數的幾何意義的應用
7.【2023年普通高等學校招生全國統一考試福建卷】已知函式
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函式的極值.
8.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（陝西卷）理】已知函式.
(ⅰ) 若直線y＝kx＋1與f (x)的反函式的影象相切, 求實數k的值;
(ⅱ) 設x>0, 討論曲線y＝f (x) 與曲線公共點的個數.
(ⅲ) 設a，所以
（ⅲ）9.【2023年普通高等學校招生全國統一考試數學（浙江卷）理】已知，函式
（ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求的最大值.
當時，，所以，所以此時；
10.【2023年全國高考新課標（i）理科】已知函式f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點p(0，2)，且在點p處有相同的切線y＝4x+2.
（ⅰ）求a，b，c，d的值
（ⅱ）若x≥－2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值範圍.
11.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）理】
設l為曲線c：在點(1，0)處的切線.
()求l的方程；
()證明：除切點(1，0)之外，曲線c在直線l的下方.
[解析] 利用導數的幾何意義求出切線的斜率，寫出點斜式方程，最後化為一般式.要證曲線c在直線l的下方，只12.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（福建卷）文科】已知函式（為自然對數的底數）
（ⅰ）若曲線在點處的切線平行於軸，求的值；
（ⅱ）求函式的極值；
（ⅲ）當時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.
在上沒有實數解．
①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數解．
13.【2023年普通高等學校招生全國統一考試(陝西卷) 文科】
已知函式.
(ⅰ) 求f(x)的反函式的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程;
(ⅱ) 證明: 曲線y = f (x) 與曲線有唯一公共點.
(ⅲ) 設a【解析】本題涉及函式與導數，為壓軸題.本題第一問涉及了求導與指數函式的反函式.屬於導函式的基本應用，體現了壓軸題的低切入點特徵.
本題第二問考查曲線與曲線的公共點個數，到了第二問，考查難度平穩提公升.第三問比較大小可採用作差構造，再求導，並綜合考察基本不等式的應用.第三問考查細緻入微，需要思考分析.
具有一定的區分度.本題命題常規，難度大.
14.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）文科】
知，函式
（ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程.
（ⅱ)若，求在閉區間上的最小值.[**:學.科.網]
【答案】（ⅰ）當時，，所以，所以在處的切線方程是：15.【2023年全國高考新課標（i）文科】
已知函式，曲線在點處切線方程為.[**
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）討論的單調性，並求的極大值.
【答案】（1），，故，解得；
（2），；令，所以或，所以當變化時，、變化如下表所示：
所以極大值.
16.【2023年普通高等學校招生全國統一考試（北京卷）文】
已知函式.
（ⅰ）若曲線在點處與直線相切，求與的值.
（ⅱ）若曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值範圍.
17.（2023年高考（重慶理））設其中,曲線在點處的切線垂直於軸.
(ⅰ) 求的值;
(ⅱ) 求函式的極值.
18.（2023年高考（山東文））已知函式為常數,e=2.71828是自然對數的底數),曲線在點處的切線與x軸平行.
(ⅰ)求k的值;
(ⅱ)求的單調區間;
(ⅲ)設,其中為的導函式.證明:對任意.[
19.（2023年高考（湖北文））設函式,為正整數,為常數,
曲線在處的切線方程為.
(1)求的值;
(2)求函式的最大值;
(3)證明:.
所以,即
由(2)知, ,故所證不等式成立.
20.（2023年高考（北京文））已知函式(),.
(1)若曲線與曲線在它們的交點(1,)處具有公共切線,求的值;
(2)當時,求函式在區間上的最大值為28,求的取值範圍.
21.（2023年高考（北京理））已知函式(),.
(1)若曲線與曲線在它們的交點(1,)處具有公共切線,求的值;
(2)當時,求函式的單調區間,並求其在區間上的最大值.
22.（2023年高考（安徽文））設定義在(0,+)上的函式
(ⅰ)求的最小值;
()若曲線在點處的切線方程為,求的值.
由得:【考點剖析】
一．明確要求
1.了解導數概念的實際背景．
2.理解導數的幾何意義．
3.能利用給出的基本初等函式的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函式的導數．
4.［理］能求簡單的復合函式（僅限於形如f（ax+b）的復合函式）的導數.
二．命題方向
1.導數的運算是導數的基本內容，在高考中每年必考，一般不單獨命題，而在考查導數應用的同時進行考查．
2.導數的幾何意義是高考重點考查的內容，常與解析幾何知識交匯命題．
3.多以選擇題和填空題的形式出現，有時也出現在解答題中關鍵的一步.
三．規律總結
乙個區別
曲線y＝f(x)「在」點p(x0，y0)處的切線與「過」點p(x0，y0)的切線的區別：
曲線y＝f(x)在點p(x0，y0)處的切線是指p為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點p(x0，y0)的切線，是指切線經過p點，點p可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條．
兩種法則
(1)導數的四則運算法則．
(2)復合函式的求導法則．
三個防範
1．利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．
2．要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有乙個交點的區別．
3．正確分解復合函式的結構，由外向內逐層求導，做到不重不漏．
【考點模擬】
一．紮實基礎
1. 【湖南師大附中2013屆高三第六次月考】曲線在處的切線的斜率是
a. b. c. d．
2. 【廣東省惠州市2013屆四月高三第一次模擬考試】設為曲線：上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值範圍為，則點橫座標的取值範圍為 ( )
a． bc． d．
3. 【2023年雲南省第二次高中畢業生複習統一檢測】曲線在點處的切線方程為( )
（ab）
（cd）
4. 【廣西百所高中2013屆高三年級第三屆聯考】已知曲線與在
處切線的斜率的乘積為3，則的值為（ ）
a．-2 b．2 c． d．1
5. 【廣西百所高中2013屆高三年級第三屆聯考】經過曲線上點
處的切線方程為（ ）
a． b． c． d．
6. 【山東省煙台市2012-2013學年度第一學期模組檢測】曲線在點處的切線方程是
ab.cd.
7. 【山西省2012—2023年度高三第二次診斷考試】曲線處的切線與座標軸所圍成的三角形的面積為（ ）
a． b． c． d．
【答案】d
【解析】∵點在曲線上，∴切線的斜率，∴切線的方程為，即，與兩座標軸的交點座標為，，∴
8. 【北京東城區普通校2012—2013學年高三第一學期聯考】若曲線的某一切線與直線平行，則切點座標為切線方程為
9. 【廣州市2013屆高三年級1月調研測試】若直線是曲線的切線，則實數的值為
10. 【2013安徽省省級示範性高中名校高三聯考】函式的影象在點處的切線方程是
二．能力拔高
11. 【2023年「江南十校」高三學生第二次聯考（二模）測試】若曲線在點處的切線與直線互相垂直，則實數m=（ ）
a． b． c．2 d．1
12. 【河北省保定市2023年高三第一次模擬考試】設函式f（x）＝｜sinx｜的圖象與直線y＝kx（k＞0）有且僅有三個公共點，這三個公共點橫座標的最大值為，則等於( )
a.－cos b. tan c. sin d.
13. 【2023年安徽省馬鞍山市高中畢業班第二次教學質量檢測】若是在內的乙個零點，則對下列不等式恆成立的是（ ）
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