一． 教材分析
本節課選自《普通高中課程標準數學教科書·數學（5）》（人教a版）第三章第4節第一課時，主要內容為基本不等式的推導與簡單應用．它以前面已學習的有關不等式的基本知識為依據，從利用基本不等式求最值這個側面來體現基本不等式的應用，而且在基本不等式的推導過程中滲透了分析法的解題方法，為學生後續學習推理與論證的內容埋下伏筆，同時在公式推導過程中滲透數形結合等思想方法，此內容都是學生今後學習中必備的數學素養．
二．學情分析
學生有了不等式的基本知識作為鋪墊，對不等式的學習已具備基本的認識，而基本不等式來自生活，是從生活中抽象而來的，只要我們選材得當，能夠激發學生的學習興趣，學生也能夠較容易理解基本不等式的推導，且達到滲透數學思想、關注數學文化的目的．
三．目標分析
教學目標：
1．學會推導並掌握基本不等式，理解基本不等式的幾何意義，並掌握定理中的不等號「≥」取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等．
2．探索並了解基本不等式的證明過程，在基本不等式的證明過程體會從特殊到一般的思維過程，領悟數形結合思想的應用．
3．培養學生生活問題數學化，並注重運用數學解決生活中實際問題的意識，有利於數學生活化、大眾化，同時通過學生自身的探索研究，領略獲取新知的喜悅．
教學重難點：
本節課教學重點是應用數形結合的數學思想理解基本不等式，並從不同角度探索不等式的證明過程．
教學難點是基本不等式等號成立條件．
四．教學策略
本課在設計上採用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略．利用數形結合、模擬歸納的思想，層層深入，通過學生自主**，分析、整理出推導公式的不同思路．同時，借助多**的直觀演示，幫助學生理解，並通過教師的點撥引導，師生互動、講練結合，從而突出重點、突破難點．
教法: 問題引導、啟發**和歸納總結相結合
學法: 自主學習與合作討論相結合
教學手段: 黑板板書為主結合多**輔助教學
五．教學過程
ⅰ．創設情境引入課題
填寫下表，
【問題1】觀察與的大小關係，從中你發現了什麼結論？
猜想得到結論：一般的，如果
【問題2】你能給出它的證明嗎？
證法1 用比較法證明：
作差變形
判斷符號
當且僅當，即時取取等條件
證法2 用分析法證明：
要證1)
只要證2)
要證（2），只要證03）
要證（3），只要證4）
顯然，（4）是成立的．當且僅當時，（4）中的等號成立．
設計意圖:
通過引導，讓學生去證明猜想的結果，進一步鞏固比較兩個代數式大小的方法，並讓學生明白歸納、猜想、證明是我們發現世界、認知世界的重要的思維方法．
師歸納：
（1）如果把看作是正數的等差中項，看作是正數的等比中項，那麼該定理可以敘述為：兩個正數的等差中項不小於它們的等比中項.
（2）在數學中，我們稱為的算術平均數，稱為的幾何平均數.本節定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數.
ⅱ．自主**深化認識
1.認識基本不等式的幾何背景
【問題3】能否給基本不等式乙個幾何解釋呢？
**：課本第110頁的「**」
在右圖中，是圓的直徑，點是上的一點，,．過點作垂直於的弦，連線、．你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？
易證∽，那麼，即.
這個圓的半徑為，顯然，它大於或等於，即，
其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立.
因此：基本不等式幾何意義是「半徑不小於半弦」
設計意圖:
通過展示均值不等式的幾何直觀解釋，培養學生數形結合的意識，並使抽象的問題更加直觀、形象，使學生進一步加深對均值不等式的理解．
2.拓廣**
（展示並介紹古代弦圖）同學們現在看到的是中國古代數學中著名的一副圖，叫做弦圖．它是由我國三國時期的數學家趙爽設計的．早在1300多年以前，這位數學家就巧妙的利用弦圖中的面積關係證明了勾股定理，這是世界上最早證明勾股定理的方法之一．弦圖不僅造型美觀，而且蘊藏著很多玄機．
（展示24屆國際數學家大會會標）大家現在看到的是20xx年在我們北京召開的第24屆國際數學家大會的會標．這個會標設計源於古代弦圖．它的色調明暗相間，使它看上去象乙個風車，這不但象徵中國人民的熱情好客，同時也充分展現了中國古代數學對世界所做出的重大貢獻．今天咱們也來研究一下弦圖．
教師引導學生從面積的關係去找相等關係或不等關係．
1． **圖形中的不等關係
【問題4】請觀察會標圖形，圖中有哪些特殊的幾何圖形?它們在面積上有哪些相等關係和不
等關係?
將圖中的「風車」抽象成如圖，在正方形中四個全等的直角三角形．設直角三角形
的兩條直角邊長為那麼正方形的邊長為．這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由於4個直角三角形的面積小於正方形的面積，我們就得到了乙個不等式：．(利用多**演示會標圖形的變化,引導學生發現四個直角三角形的面積之和小於或等於正方形的面積．)
【問題5】大家看，這個圖形裡還真有點奧妙．我們從圖中找到了乙個不等式．這裡、的取值有沒有什麼限制條件? 不等式中的等號什麼時候成立呢？
當直角三角形變為等腰直角三角形，即時，正方形縮為乙個點，這時有．
2．得到結論：一般的，如果
3．思考證明：你能給出它的證明嗎？
證明：因為
當所以，，即
師歸納：
（1）從上述兩個不等式中，可以發現，如果, 對於不等式，我們用分別、代替，可得，通常我們把上式寫作：
（2）以上，我們是從數和形兩個角度充分分析了這個不等式.可見，數與形是乙個事物的兩個方面．
設計意圖:
通過問題情境的設計激發學生學習的積極性，培養學生的**能力；其次，簡略介紹中國古代數學家趙爽的生平，滲透數學思想、關注數學文化．
ⅲ．實際運用強化新知
【例題】（1）用籬笆圍乙個面積為100的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？
（2）一段長為36的籬笆圍成乙個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大．最大面積是多少？
分析：（1）當長和寬的乘積確定時，問周長最短就是求長和寬和的最小值
（2）當長和寬的和確定時，求長與寬取何值時兩者乘積最大
解：（1）設矩形菜園的長為 ,寬為,則籬笆的長為2（）由可得
2（）等號當且僅當，因此，這個矩形的長、寬為10時，所用籬笆最短，最短籬笆為40．
(2)設矩形菜園的長為,寬為,則2（）=36， =18，矩形菜園的面積為，
由可得 ,
可得等號當且僅當
因此，這個矩形的長、寬都為9時，菜園的面積最大，最大面積為81．
設計意圖:
讓學生初步運用基本不等式解決實際問題, 通過對實際問題的解決讓學生體會數學**於生活，同時又服務於生活．
ⅳ．回顧反思拓展延伸
1.課堂小結
組織學生分組共同反思本節課的教學內容及思想方法，小組之間互相補充完成課堂小結，實
現對基本不等式認識的再次深化．
體會從特殊到一般的研究方法；
體會數形結合的數學思想；
體會歸納、猜想、證明的思維方法；
掌握基本不等式，理解它的幾何背景，並能運用它解決實際問題．
設計意圖:
小結的目的一方面讓學生再次回顧本節課的活動過程，重點和難點所在，另一方面，更是對
探索過程的再認識，對數學思想方法的昇華，對思維的反思，可為學生以後解決問題提供經驗和教訓．
2.作業布置
必做題:p.113—1、2、3、4
選做題：
1.已知都是正數，求證：
（1）如果積是定值，那麼和有最小值，此時；
（2）如果和是定值，那麼積有最大值，此時．
2.當時不等式成立，若，則有不等式成立．
研究性作業：
（1）設，稱為的調和平均數．如圖，為線段上的點，且，為中點，以為直徑作半圓．過點作的垂線，垂足為，鏈結,則圖中線段的長度是的算術平均數，線段的長度是的幾何平均數，線段的長度是的調和平均數．
（2）已知都是正數，證明：．
設計意圖:
分層練習使學生在完成必修教材基本任務的同時，拓展自主發展的空間，讓不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，發揮自己的潛能．
六．教學反思
新課程的理念倡導學生積極主動地探索知識的發生、發展，但這必須是在教師的引領之下，否則學生很容易誤入歧途．教師應該盡力做好學生**活動的引路人．在設計這節課的教學時，課堂上採取讓學生「自主、合作、探索」的教學方式，教師是學生學習的組織者、引導者和服務者，為了讓學生的**活動積極有效，主要設想以問題立意，始終圍繞基本不等式的發現、發展這一中心問題並滲透數型結合、轉化與化歸思想．在這個過程中，學生在課堂上的主體地位得到充分發揮，極大的激發了學生的學習興趣，這正是新課程所倡導的數學教學理念．
基本不等式的教學反思
緊張又忙碌的青年教師大賽結束了，我講了數學人教a版必修5的基本不等式。以下是我從教學前，教學中，教學後的反思。一 教學前的反思 初步定下這節課，需要認真通讀教科書，仔細思考教科書中的引言，注意過渡語句，往往教科書中的過渡語句是我們大家容易忽視的，實際上教科書中的過渡語句是很自然的，語言也很精煉。而我...
優質課教學設計 不等式的證明版含答案
不等式的證明 分析法與綜合法 教學設計 一 教學內容解析 本節課是上海教育出版社出版的數學教材高一年級第一學期第二章 不等式 的第五節的第二課時 本節課是建立在已掌握不等式的基本性質 基本不等式 用比較法證明不等式的基礎上,繼續學習分析法和綜合法證明不等式 數學證明對於發展邏輯思維能力有著極其重要的...
3 4 1基本不等式的證明教學設計
3.4.1 基本不等式的證明 南京師範大學附屬中學季人傑 教學目標 1 探索並了解基本不等式的證明 2 體會證明不等式的基本思想方法 3 能應用基本不等式解決簡單的不等式證明問題 教學重點 基本不等式的證明 教學難點 基本不等式的證明 教學過程 一 問題情境，匯入新課 口述 有乙個珠寶商人，很多人到...