王凱成(陝西省小學教師培訓中心 710600)
一、什麼是三階幻方
把9個自然數填在3行3列的方陣中，使每行每列及兩條對角線上3個數的和都相等,這樣的方陣就叫做三階幻方。相等的和叫做幻和。
傳說古代夏禹治水時，洛水出了個神龜，背上刻有文字，大禹就照此寫出了《洪範.
九籌》(治國的九種**)。
實際上，神龜背上刻的文字，就是三階幻方，也叫九宮圖。
我國的少數民族如藏族和納西族都曾有「九宮圖」,有詩讚美九宮:
四海三山八洞仙，
九龍五子一枝蓮。
二七六郎賞月半，
周圍十五月團圓。
根據數學史家考證，這個三階幻方最早見於西元前500年左右春秋時期的《大戴禮記》中。漢朝徐嶽把它叫做「九宮算」，後人的註解是：「九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居其中。
」宋代數學家楊輝把九宮算叫做「縱橫圖」。公元15世紀，住在拜占庭君士坦丁堡的摩索普拉斯把我國的「縱橫圖」介紹到歐洲，並取名為「幻方」。
古印度有許多少女在胸前佩戴乙個三階幻方，當做「護身符」，認為這樣可以「避邪」。也有人把它貼在門板上，「驅邪避災」(中世紀的歐洲也有這種習慣)。
金庸大俠還把三階幻方寫進他的的**《射鵰英雄傳》中：一天, 黃蓉被裘千仞的鐵掌所傷，幾乎致命。郭靖帶著她去找「神運算元」瑛姑求醫。
兩人在一片泥沼中七彎八拐，闖過重重機關終於來到了神運算元的門前。只見屋裡一白髮女子正凝神細算一道題，黃蓉暗點算
子數目，報出了得數。那女子驚詫之餘，拿出自己深思多日的一些題目，黃蓉均一一破解。那女子呆了半晌問道：「你是人嗎？」
接著白髮女子又甩出一招：「將一至九這九個數字排成三行三列，不論縱橫斜角，每三數相加都是十五，如何排法？」
病黃蓉低聲誦道：「九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居**。」邊說邊畫，在沙上畫了乙個九宮之圖。聞聽此言，那女子面如死灰。
正是在這段有名的「九宮陣」裡，金庸先生將黃蓉的聰敏機智刻畫得淋漓盡致。
二、數學教材中的三階幻方
人教版和北師大版小學數學教材及人教版初中數學教材有三階幻方的內容，這是對數學文化的傳承與發揚。
這是人教版課標教材小學數學一年級上冊第120頁第10題。這是乙個三階幻方。
這是人教版課標教材小學數學二年級上冊第30頁第9題。這是乙個三階幻方。
這是北師大版小學數學教材二年級上冊第9頁的思考題。這是乙個三階幻方問題。
這是人教版課標教材小學數學一年級下冊第77頁思考題。這是乙個三階幻方問題。
這是人教版初中數學教材七年級上冊第21頁的內容。
三、如何製作三階幻方
如何製作三階幻方？
宋代數學家和數學教育家楊輝提出製作三階幻方的方法：「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。」
例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9製作乙個三階幻方。
根據「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出」製作。
( (九子斜排上下對易左右相更四維挺出)
但是,「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出」有很大的侷限性(可以推出：當「最小數」×2 +「中位數」<「第二小數」×3時, 「楊輝方法」製作三階幻方失效)，對用1、4、6、7、9、11、12、14、17製作乙個三階幻方就不適用，這裡給出能引發學生思考的「製作三階幻方的通法」(見文[1])。
例2 用1、4、6、7、9、11、12、14、17製作乙個三階幻方。
1.求幻和：(1+4+6+7+9+11+12+14+17)÷3=27。
2.拆幻和：27=17+1+9=17+4+6=14+1+12=14+4+9=14+6+7=12+4+11=12+6+9=11+7+9。
3.統計：
4.填幻方：首先確定最中間數(統計**現4次的數)，其次確定四角數(統計**現3次的數)，最後填出三階幻方。
(確定中間數) (確定四角數三階幻方)
實際上，根據數的大小位置，也能快速製作出三階幻方:三階幻方九宮數，一行中間最小數，二行**中位數，三行最右二小數(第二小的數稱為「二小數」)，幻和中位三倍數(幻和是中位數的3倍)，由此推出空格數(這是筆者2023年找到的製作三階幻方新的通用方法，原理見文[2])。
例3 用1、4、6、7、9、11、12、14、17製作乙個三階幻方。
對1、4、6、7、9、11、12、14、17來說，9是中位數，1是最小數，4是二小數。所以，1在第一行第二列，9在第二行第二列，4在第三行第三列，由幻和是9×3=27可知，第一行第一列填9×2－4=14，第一行第三列填27－14－1=12，第三行第一列填9×2－12=6，第三行第二列填9×2－1=17，第二行第一列填27－14－6=7，第二行第三列填27－12－4=11。三階幻方製作完成。
例4 用9、15、21、24、30、36、39、45、51製作乙個三階幻方。
對9、15、21、24、30、36、39、45、51來說，30是中位數，9是最小數，15是二小數。所以9在第一行第二列，30在第二行第二列，15在第三行第三列，由幻和是30×3=90可知，第一行第一列填30×2－15=45，第一行第三列填90－45－9=36，第三行第一列填30×2－36=24，第三行第二列填30×2－9=51，第二行第一列填90－45－24=21，第二行第三列填90－36－15=39。三階幻方製作完成。
四、以「三階幻方」為內容的詩詞
著名數學家華羅庚曾設想：若要溝通兩個不同星球的資訊交往，最好在太空飛船中帶去兩個圖形------表示「數」的洛書(三階幻方)與表示「數形關係」的勾股定理圖。
著名科普作家談祥柏稱讚三階幻方：九宮妙算棋，中國傳統文化的奇葩，啟迪智慧型的源泉，少年兒童的數學樂園。
我省幻方研究專家高治源教授在《九宮圖探秘》一書中介紹了以「三階幻方」為內容的詩詞：鳥語花香，英雄奇才，數字之美，紀念領袖等詩詞。
鳥語花香
四季九花二重開
三楊五柳七處栽
八哥一唱六鳥應
九宮奇境仙人來
英雄奇才
八方三才遊四海
一將五戰贏九怪
六女七拜楊二郎
九宮奇才誰不愛
數字之美
點六一八**比
數七五三差等級
二數除九餘加四
十全十美真巧奇
618、753除以9都餘6, 6+4=10)
紀念領袖
四祝三八婦女節
九慶五一勞動節
二節逢上七六年
痛失領袖太悲切
[1].王凱成，製作三階幻方的通法，中學數學教學參考[j]，2023年第4期.
[2].王凱成，依據數的大小位置快速製作三階幻方，中學數學教學參考初中版[j]，2023年第5期.
[3].高治源，九宮圖探秘，香港天馬圖書****[m]，2023年1月第1版.
09 幻方 四 單偶數階幻方的編排方法
另外，上 下兩行的每一行及左右兩列的每一列中的六個數都必須是由三個大數和三個小數組成。因為，如果只有兩個大數和四個小數，那麼它們的和最多是36 35 10 9 8 7 105，而六階幻方的和是111，這樣不能組成六階幻方了 如果是四個大數和二個小數，那麼它們的和至少是27 28 29 30 1 2 ...
三階魔方速擰規則
一 總則 1 本次魔方比賽採用秒錶計時。2 本次比賽僅設定三階速擰乙個專案。3 本次比賽的目的是普及學生對魔方的認知度，培養學生的科技興趣 動手能力 二 魔方 1 參賽魔方必須是三階魔方，可以連續地旋轉各個面，可以正常地被打亂。2 參賽者比賽時使用的魔方由本人自行準備。3 參賽魔方須在比賽開始前通過...
三階制令管理作業規範
檔名稱檔案編號 wq3m320200 修訂日期 02 apr 12 亞旭公司製令管理作業規範 最新版本 ad 檔案頁碼 1of9 1.檔案修訂變更記錄 版本修訂 頁數檔案修訂內容 修訂修訂內容 單位訂修 修訂日期 員人aa all 2006 年 1 月份檔案全面修改生管部荀本霞 15 feb 06 ...