關於玫瑰有約的數學模型
摘要：現在城市大齡青年的婚姻問題收起了社會的廣泛關注，針對這一社會現象，我們假設某單位有20對大齡青年男女，每個人的基本條件都不相同，並且每個人的擇偶條件也不相同。該單位的婦聯組織擬根據他們的年齡，基本條件和要求條件牽線搭橋。
本文根據每個人的情況和要求，建立數學模型幫助婦聯解決3個問題。
關鍵詞：數學模型；滿意度；匈牙利演算法；km演算法
the mathematical model about ****** an appointment for life
li wei
(department of mathematics and computational science hunan university of science and engineering,yongzhou,425100,hunan）
abstract: nowadays, the problem of the young』s marriage has roused more and more public』s concern. according to this phenomenon, we assume that there are twenty pairs of aged people in a company, all of which h**e different basic condition and their demanding。
the women's federation of this company wants to wire-pull for them on the basis of their age, basic condition and demand. this *****, according to everyone』s condition and demands, helps the women's federation solving this problem.
key words: mathematical model; the measurement of satisfaction; hungary algorithm;
km algorithm;
1.引言
現在在城市大齡青年的婚姻問題引起了社會的廣泛關注，針對這一現象，我們給出20對青年男女的基本條件和擇偶條件的抽樣是真實可靠的。首先，我們將所給的兩個**按年齡公升序重新進行排列，分別編號為1，2，3……20。並且將外貌、性格、氣質、事業、財富五個方面的五個等級a、b、c、d、e分別賦值為5、4、3、2、1，這樣我們就得到了男女青年的基本條件和要求條件的四個矩陣；其次，我們定義了「滿意度」的概念，利用圖論（二部圖）的方法解決這個問題。
在模型中，根據男青年的基本條件和女青年的要求條件構造度量矩陣（權值矩陣）a，男1號的基本條件和女1號的要求條件，比如在外貌方面，男1號滿足女1號的要求則賦值為5-3+1，在事業方面，男1號不滿足女1號的要求，則賦值為0，按照這個方法，如果滿足條件則按公式（男青年基本條件值-女青年相應的要求條件+1）賦值，反之賦值為0，這樣可以得到外貌，性格，氣質，事業，財富五個方面的數值，並將這些數值相加得到，最終得到權值矩陣t=（）2020，同理可得，女青年的基本條件和男青年的要求條件所構成的權值矩陣s=()2020，那麼男女青年配對的總權值矩陣（即為滿意度矩陣）為r1=t+s，（因為表示男i號的基本條件對j號的要求條件，表示女j號的基本條件對男i號的要求條件，那麼用+表示男i號對女j號的總權數即為他們之間的滿意度）：再次，我們根據年齡的限制在矩陣r1中將不滿足條件的賦0，得到矩陣r，利用匈牙利演算法可得到問題（1）的結果。再在矩陣r中將大於2的數字賦1反之賦0，再利用km演算法可得問題（2）的結果。
由於以上的模型在構造權值矩陣r時，男青年基本條件不滿足女青年要求條件時賦值為0，實際上還存在男女青年的失望度，故在模型改進中針對失望度將模型中賦值為0的另外賦值為（女青年要求條件值–男青年相應的基本條件值）即考慮到可能單向面的滿意度較大而另一方面的失望度也較大時同樣不能配對成功，且在把模型無向化時是採用把每個結點分成兩個結點的方法即把有向的平行邊分成各自帶自己權的無向邊，同時在此模型中將初等模型中的五個等級a、b、c、d、e量化為9、7、5、3、1（由於模型中的賦值尺度比較粗糙），其餘的步驟與模型相同，從而得到了模型改進。
2.問題的提出
目前，在許多城市大齡青年的婚姻問題已引起了婦聯和社會團體組織的關注。某單位現在有20對大齡青年男女，每個人的基本條件都不相同，如外貌、性格、氣質、事業、財富等。每項條件通常可以分為五個等級a、b、c、d、e，如外貌、性格、氣質、事業可分為很好、好、較好、一般、差；財富可以分為很多、多、較多、一般、少。
每個人的擇偶條件也不盡相同，即對每項基本條件的要求是不同的。該單位的婦聯組織擬根據他（她）們的年齡、基本條件和要求條件進行牽線搭橋。下面給出20對大齡青年男女的年齡、基本條件和要求條件（如下表）。
一般認為，男青年至多比女青年的年齡大5歲，或女青年的年齡比男青
年的大2歲，並且要至少滿足個人要求5項條件中的2項，才有可能配對成功。本文根據每個人的情況要求，建立數學模型幫助婦聯解決如下問題：
(1)給出可能的配對方案，使得在盡量滿足個人要求的條件下，使得配對成功率盡可能的高。
(2)給出一種20對男女青年可同時配對的最佳方案，使得全部配對成功的可能性最大。
(3)假設男女雙方都相互了解了對方的條件和要求，讓每乙個人出一次選擇，只有當男女雙方相互選中對方時才認為配對成功，每乙個人只有一次選擇機會。怎樣告訴20對男女青年都應該如何做出選擇，使得自己的成功的可能性最大？選擇的方案最多能配對成功多少對？
注：表中的要求條件一般是指不低於所給的條件。
為了方便後面的計算，我們按年齡公升序重新對上述兩個**進行排列並且編號：
注：**中的要求條件一般是指不低於所給條件
3.問題分析
該問題是現實生活中的實際問題，主要就是確定合理配對方案，使得在盡量滿足個人要求條件下，使配對成功率盡可能的高。由於每個人的基本條件和要求條件都是給定的，雙方彼此是知道的，而且是相互之間有很大的差異，如果完全按照要求條件組合配對成功。任意一對男女的配對可以看成乙個隨機事件，按某一概率可能配對成功，或不成功。
在這裡雙方的滿意度主要反映出乙個人對另乙個人的客觀和主**法，因此，滿意度的定義成為解決問題的乙個關鍵。
所謂的「成功率」，就是男女雙方最終配對的概率。實際上，可以用他們相互之間的滿意度來間接刻畫。相互的滿意度越高，雙方配對的成功率就越大。
對於問題（1），要使配對成功率盡可能的高明，也就是給出一種方案，使得20對男女的配對後的滿意度之和最高。
對於問題（2），要使20對男女青年同時配對，使得全部同時成功的可能性（概率）最大。
對於問題（3），因為每人個只能選擇一次，能不配對成功取決於雙方是不是選中對方，即要看雙方彼此的滿意度如何。實際中，假如乙個男青年（）對乙個女青年（）的滿意度最高，但對的滿意度不一定最高，即若選擇，但不一定選擇。因此，與不一定配成對，反之亦然。
現在的問題是誰選誰，使配對成功的可能性最大呢？這個問題實際上是男女雙方在彼此基本了解的情況下，在保證自己一定滿意的條件下做出自己的選擇，也需要猜測對方會做出怎樣的選擇。因此，這個問題可能轉化為男女雙方的對策問題，即轉化為求男女雙方的非零和對策的納什平衡點的問題。
4. 模型的假設與符號說明
4．1模型的假設
(1)題目所給出的男女青年的評價是客觀真實的;
(2)每個人在選擇雙方的時候是理智的;
(3)男女青年不會受當時環境的影響。
4．2符號說明
k=1,2,3,4,5.分別表示外貌、性格、氣質、事業、財富這5個條件；
(i=1,2…… 20)表示年齡公升序排列後男青年編號；
（j=1,2…… 20）表示年齡公升序排列後女青年編號；
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