正定中學2016屆高三上學期第五次月考
數學（理科）
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第ⅰ卷1至2頁.第ⅱ卷3至5頁.考試時間120分鐘，滿分150分.
注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號填寫在試卷的答題卡上.
2.選擇題答案使用2b鉛筆填塗，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案的標號，非選擇題答案使用0.5公釐的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字型工整，筆跡清楚.
3.請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效.
4.保持捲麵清潔，不摺疊，不破損.
第i卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共有12個小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知，若為實數，則
abcd.
2.下列四個函式中，既是定義域上的奇函式又在區間內單調遞增的是
a． b． c． d．
3.已知實數、滿足，則的最大值為
abcd.
4.直線與圓有兩個不同交點的乙個充分不必要條件是
a． b． cd．
5.已知，則
abc. d.
6.執行如圖所示的程式框圖，若輸入，則輸出的值分別為
a.5，1 b.5，2c.15，3 d.30，6
7.將函式的圖象向左平移個單位後的圖象關於原點對稱，則函式在上的最小值為
abcd.
8.在菱形中，對角線，為的中點，則
a. 8b. 10c. 12 d. 14
9.某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為
a. 6b. 5 c. 4 d. 5.5
10.某校高三理科實驗班有5名同學報名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報一所高校．若這三所高校中每個學校都至少有1名同學報考，那麼這5名同學不同的報考方法種數共有
a.144種 b.150種 c.196種 d.256種
11.設為橢圓的左、右焦點，且，若橢圓上存在點使得，則橢圓的離心率的最小值為
abcd.
12.設函式，其中，若關於不等式的整數解有且只有乙個，則實數的取值範圍為
a. b． c． d．
一、cdcab dacbb da
二、13. 14. 15. 16.4
第ii卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.請將答案填寫在答題紙上.
13.在的展開式中含的項的係數是
14.已知數列滿足，，則的最小值為
15.已知正方體的稜長為1，點是線段的中點，則三稜錐
外接球體積為
16.是雙曲線的右焦點，的右支上一點到一條漸近線的距離為2，在另一條漸近線上有一點滿足，則
三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）
在銳角中，角的對邊分別為，已知依次成等差數列，且求的取值範圍.
17.解： 角成等差數列2分
根據正弦定理的
6分又為銳角三角形，則8分
10分18.（本小題滿分12分）
已知數列的各項均是正數，其前項和為，滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，求證：.
18.解：（1）由，得，解得…………2分
而，即4分
可見數列是首項為2，公比為的等比數列.
6分（2）
8分故數列的前項和
10分12分
19.（本小題滿分12分）
某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，並得到如圖的頻率分布直方圖.
（1）若直方圖中後四組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5.0以下的人數；
（2）學習小組成員發現，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關係，對年級名次在名和名的學生進行了調查，得到右表中資料，根據表中的資料，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關係?
（3）在（2）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一步調查他們良好的護眼習慣，並且在這9人中任取3人，記名次在的學生人數為，求的分布列和數學期望.
附：19. （1）設各組的頻率為，
由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人， ……1分
因為後四組的頻數成等差數列，
所以後四組頻數依次為2分
所以視力在5.0以下的頻率為3+7+27+24+21=82人
故全年級視力在5.0以下的人數約為3分
（2）因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關係.……………6分
（ⅲ）依題意9人中年級名次在名和名分別有3人和6人，
可取0、1、2、37分
， ，
， 的分布列為
………………11分
的數學期望 ………………12分
20.（本小題滿分12分）
如圖，在四稜錐中，平面，，且，，點在上.
（1）求證：；
（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.
20.解：⑴取中點，鏈結,則，所以四邊形為平行
四邊形，故，又,所以,故
,又，,所以,故有
5分⑵如圖建立空間直角座標系
則設,易得
設平面的乙個法向量為，則
令，即8分
又平面的乙個法向量為，
，解得，
即，，而是平面的乙個法向量，
設直線與平面所成的角為，
則.故直線與平面所成的角的正弦值為12分
21.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交於兩點，且，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．
（1）由題意知，∴，即
又2分∴， 橢圓的方程為 4分
(2)設，由得 ，
，. 6分
8分10分12分22.（本小題滿分12分）
已知函式，其中常數.
（1）討論函式的單調性；
（2）已知，表示的導數，若，且滿足，試比較與的大小，並加以證明.
22．解：（1）函式的定義域為，
由得，，……………2分
當時，，所以在上為增函式；……3分
當時， ，所以在，上為增函式；在上為減函式；………4分
當時， ，所以在，上為增函式；在上為減函式；…………5分
（2）令
則，在上為減函式，即在上為減函式
以題意，不妨設，又因為，………8分
所以，，所以，且，
由，得，
，10分
令，則， ………11分
所以，在內為增函式，又因為
所以，，
即：所以12分
數學（理科）參***
一、cdcab dacbb da
二、13. 14. 15. 16.4
三、17.解： 角成等差數列2分
根據正弦定理的
6分又為銳角三角形，則8分
10分18.解：（1）由，得，解得…………2分
而，即4分
可見數列是首項為2，公比為的等比數列.
6分（2）
8分故數列的前項和
10分12分
19. （1）設各組的頻率為，
由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人， ……1分
因為後四組的頻數成等差數列，
所以後四組頻數依次為2分
所以視力在5.0以下的頻率為3+7+27+24+21=82人
故全年級視力在5.0以下的人數約為3分
（2）因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關係.……………6分
（ⅲ）依題意9人中年級名次在名和名分別有3人和6人，
可取0、1、2、37分
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