通過變換:用低維(主成份)近似高維(較全面)資訊§4.1 主成份分析
1. 二維的例子
設, , 觀測資料,
若的相關係數, 則在直線上.
作則在軸上, 分散性(樣本方差)最大, 即選擇使的最大,基本上反映了二維資訊. 完整的
,分別稱為第一主成份和第二主成份.
2. 總體主成份(主成份至多個)
(1) 定義設, 協方差為
1) 作
使達到最大,
且 (否則可無界), 由此得第一主成份.
2) 作
使達到最大,
且及與前向量垂直條件:
, 由此得第二主成份.
3) 一般若還不夠, 則繼續作
在及 下, 使達到最大, 第主成份.
(2) 總體主成份的求法
設的特徵值為, 正交化單位特徵向量為, 則第個主成份表為及(證) 令, 則
對, , 有
只有當(標準單位向量)時, 最大,
即取.對, ,且有
其中, 因為, 即
只有, 即時, 最大.
類似可得其餘, 主成份的表示式.
各主成份的方差等於相應的特徵值.
(3) 總體主成份的性質
1) 主成份的協方差矩陣及總方差
記, 則的協方差陣
總方差為
[, , ].
2) 主成份的貢獻率與累計貢獻率
第個主成份的貢獻率:
由此可知, 第1個主成份貢獻率最大, 依次而弱.
的累計貢獻率:.
實用中, 要求累計達到80%~90%的前個主成份.
例4.1 設的協方差為
求各主成份.
解:,代入即可.
第一主成份的貢獻率:;
前兩個主成份的累計貢獻率:
足矣.(4) 標準化變數的主成份
原始量綱不一, 大方差不一定是主要的, 有時不當.
1) 先標準化
其中, 令
則=的相關係數陣
2) 對作主成份分析
即求的特徵值和相應的正交單位化特徵向量
標準化後的主成份
且有,第個主成份的貢獻率:
的累計貢獻率:.
例4.2 設的協方差和相關係數陣分別為
和分別進行主成份分析.
解: 1) 對, 有
, ,代入, 得之一:
第一主成份貢獻率:, 且其中佔了絕大部分.
2) 對, 有
, 代入, 得其一
,易見佔了主要比例.
第一主成份的貢獻率:.
實用中, 多應從相關係數矩陣出發.
3. 樣本主成分
設樣本觀測值為
實際問題,其中
用來代和.
關於樣本, 有如下結論:
設, 其特徵值,
相應的單位正交化特徵向量,
第個樣本主成份表為
依次代入觀測值, 得
稱為第個樣本主成份的得分.
第個主成份的貢獻率:
前個樣本主成份的累計貢獻率:.
類似在討論標準化後樣本
樣本總方差為等等.
一般取足夠的貢獻率80%~90%的.
例4.3 對10名男中學生的身高(),胸圍()和體重()進行主成份分析.
解呼叫sas proc corr過程, 得各方差相差不大, 故對進行主成份分析, 得若取前2個, 則貢獻率已達98.86%, 故取大小因子:
形狀因子:
例4.4 對十家上市公司的獲利能力和經營發展能力, 選取如下6個指標進行分析
下表為前3年關於6個指標的加權平均, 對其做主成分分析, 並按第一主成份得分對這些公司排序.
解: 呼叫sas proc corr過程, 求得可見樣本方差很大, 因此從樣本相關係數陣分析.
由sas proc princomp過程求得相關係數陣:
和取前2個主成份:
獲利和發展的綜合力;獲利與發展能力之差值
6典型相關與對應分析
7.1.1 典型相關分析的概念與步驟 1.典型相關分析的基本思想 典型相關分析採用主成分的思想濃縮資訊，根據變數間的相關關係，尋找少數幾對綜合變數 實際觀測變數的線性組合 用它們替代原始觀測變數，從而將二組變數的關係集中到少數幾對綜合變數的關係上，通過對這些綜合變數之間相關性的分析，回答兩組原始變數...
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