1.設函式
（1）求f(x)的單調區間
（2）求f(x)的極值點及極值
（3）若對所有的都有成立，求實數的取值範圍。
2. 設函式
（i）若存在使不等式能成立，求實數m的最小值；
（ii）關於的方程上恰有兩個相異實根，求實數a的取值範圍
3. 設，且（e為自然對數的底數）.
(i) 求與的關係；
(ii) 若在其定義域內為單調函式，求的取值範圍；
解答：1.（1）令，解之得f(x)在上遞增，在上遞減。
（2）當x=時，f(x)有極小值為
（3）令對g(x)求導得
令當時,對所有的x>0都有,所以上為單調增函式
又g(0)=0,所以對即當所以成立
當a>1時,對於所以g(x)在所以對於
即f(x)1時不一定成立，綜上所述可知a的取值範圍是
2. （i）依題意得
（ii）依題意得，上恰有兩個相異實根，
令故在[0，1]上是減函式，在上是增函式，
3.解：(i) 由題意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2, (p－q) (e +) = 0
而 e +≠0，∴p = q .
(ii)由(i)知 f (x) = px－－2ln x
f ' (x) = p +－=
令 h(x) = px 2－2x + p，要使 f (x) 在其定義域 (0,+) 內為單調函式，只需 h(x) 在 (0,+) 內滿足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恆成立.
當 p = 0時， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f ' (x) = －< 0，
∴ f (x) 在 (0,+) 內為單調遞減，故 p = 0適合題意.
當 p > 0時，h(x) = px 2－2x + p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為 x =∈(0,+)，∴ h(x)min = p－,只需 p－≥0，即 p≥1 時 h(x)≥0，f ' (x)≥0，
∴ f (x) 在 (0,+) 內為單調遞增，故 p≥1適合題意.
當 p < 0時，h(x) = px 2－2x + p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = (0, + ).只需 h(0)≤0，即 p≤0時 h(x)≤0在 (0, + )恆成立.故 p < 0適合題意.
綜上可得， p≥1或 p≤0.
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