九年級上冊·課本亮題拾貝
綿陽市教育科學研究所張繼海
課本中的例、習題是經過編者反覆琢磨，認真篩選後精心設定的，具有一定的**性．在教學的過程中要立足課本，充分發揮課本例、習題的教學功能，可以有效地避免題海戰術，不但有利於鞏固基礎知識，而且還能增強同學們的應變能力，發展創新思維，提高數學素養．
21．1 二次根式
題目計算：．（人教課本p8 2（4）題）
解原式=．
點評大家知道，當a≥0時，有意義，且．而當a＜0時，也有意義，此時，進一步的，則等於－a（－a＞0）．為了預防解題粗心出錯（如），通常是根據平方（或立方）的意義，先處理掉（好）符號，再按有關順序和規定運算．
演變變式1 填空：（12答案：（1） （2））
變式2 當x 時，式子在實數範圍內有意義？ （答案：＞）
變式3 若是整數，求正整數n的值（至少寫出3個）．
（答案：n = 1，2，9，17等．）
變式4 是否存在正整數n，使得是有理數？若存在，求出乙個n的值；若不存在，請說明理由．
解假設存在正整數n，使是有理數，則因為3n + 2是正整數，所以3n + 2應該是乙個完全平方數．
假設3n + 2等於k（k≥3，k是正整數）的平方，則k = 3p或者3p + 1或者3p + 2，也就是說k除以3餘0或者1或者2，而（3p）2 除以3餘0，（3p + 1）2 = 9p2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p2 + 12p + 4 除以3都餘1，所以沒有數的平方除以3餘2．表明3n + 2不是完全平方數，從而假設不成立，因此，不存在正整數n，使是有理數．
21．2 二次根式的乘除
題目計算：．（人教課本p15 6（4）題）
解原式== 15．
另法原式=．
點評進行二次根式的乘除運算時，根據乘法、除法規定（（a、b≥0），（a≥0，b＞0）），可以從左往右正向使用（如另法），也可以從右往左逆向使用（法一），往往可視其具體題目的數字特點和結構特徵，靈活選用．一般情況是盡可能先把根式化簡，大數化小，遇到字母開平方時，必須注意字母的正、負性（或討論）．
演變變式1 填空：（1
（2答案：（1） （2））
因為原式=，2 + 3 = 5，
所以設2 = a，3 = b，則 5 = a + b，題目可演變成如下形式：
變式2 化簡：．
解原式== b（a + b）= ab + b2．
若賦予a一些不同的值（相應的可得到b的值），則可得到一組二次根式的乘法除法試題．
變式3 甲、乙兩同學在化簡時，採用了不同的方法：
甲： 因為x，y是二次根式的被開方數，且在分母上，所以x＞0，y＞0，
於是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=．
乙： 原式=．
從而得出了不同的結果．請指出甲、乙同學的做法是否正確？說明理由．
解甲，乙兩同學的做法都不正確．
甲同學犯了以特殊代替一般的錯誤，雖然最終結果是．
乙同學對題目形式上的意義理解錯誤，通常是乙個整體，是被除式．
正確解法是：原式=．
21．3 二次根式的加減
題目已知，，求下列各式的值：
（1）x2 + 2xy + y2； （2）x2－y2． （人教課本p21 6題）
解 ∵，，
∴，x－y = 2，xy = 2．
於是 x2 + 2xy + y2 =（x + y）2 =，
x2－y2 =（x + y）（x－y）=．
點評本題屬於「給值求值」型別，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：先把已知式和待求式進行適當的等價變形化簡，充分挖掘出已知式和待求式之間的內在聯絡，然後再看情況靈活地代入，往往能簡捷而巧妙地求值．
演變變式1 已知，，求：（1），（2）的值．
解由已知可得a + b = 2，，ab =－1．
（1）原式=．
（2）原式=．
變式2 如果實數a，b滿足a2 + 2ab + b2 = 12，，求的值．
解顯然b≠0，於是由已知，得，
∴，即，
有，因此．
說明上述解法，既抓住了已知式的特徵（兩個等式的左邊有公因式，約後能降次，但要注意是否為0囉！），又避免了解方程組的難點．本題還可以進一步求出a、b的值．
∵，∴（x－1）2 = 3，得x2－2x = 2，結合x≠0，兩邊除以x，
得，注意到，則=，，得
變式3 若實數x滿足，試求：（1）；（2）；（3）的值．
（答案 （1）8 （2）（3））
22.2 降次 —— 解一元二次方程
題目無論p取何值時，方程（x－3）（x－2）－p2 = 0總有兩個不等的實數根嗎？給出答案並說明理由．（人教課本p4612題）
解原方程可化為x2－5x + 6－p2 = 0．
方程根的判別式為 △=（－5）2－4（6－p2）= 1 + 4p2，
對任何實數值p，有1 + 4p2＞0，
∴ 方程有兩個實數根 x1 =，x2 =，且兩個根不相等．
另法由 p2 =（x－3）（x－2）= x2－5x + 6 =，
得，無論p取何值≥，因此．
點評解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般來說，公式法對於解任何一元二次方程都適用，是解一元二次方程的主要方法，但在具體解題時，應具體分析方程的特點，選擇適當的方法．
（1）要判定某個二次方程是否有實數解及有幾個解時，常常只須考查方程根的判別式．
（2）見到含字母係數的二次方程，在實數範圍內，首先應有△≥0；若字母在二次項係數中，則還應考慮其是否為0．
（3）關於一元二次方程有實數根問題，一般有三種處理方式（何時選擇那種方式要根據具體題目的特點來確定）：① 利用求根公式求出根來；② 利用根與係數的關係將這兩個根的和與積表達出來：x1 + x2 = x1x2 =，以便後繼作整體代換；③ 將根代入方程中進行整體處理．
演變變式1 分別對p賦值0，2，等，可得如下確定的方程：
解方程：（1）x2－5x + 6 = 0；（2）x2－5x + 1 = 0；（3）4x2－20x + 21 = 0．
變式2 當x取什麼範圍內的值時，由方程（x－3）（x－2）－p2 = 0確定的實數p存在？請說明理由．
解對任意實數p，有p2≥0，所以只需p2 =（x－3）（x－2）≥0，利用同號相乘得正的原理，得x應滿足或解得x≥3或x≤2．
表明，當x取x≤2或x≥3範圍內的實數時，由方程（x－3）（x－2）－p2 = 0確定的實數p存在．
變式3 指出方程（x－3）（x－2）－p2 = 0的實數根所在的範圍？
解 ∵ 方程有兩個不相等的實數根x1 =，x2 =，
且對任意實數p，有1 + 4p2≥1，∴ 有x1≥，x2≤，
即方程的實數根所在的範圍是x≤2或x≥3．
變式4 試求y =（x－3）（x－2）的最小值．
解由 y =（x－3）（x－2）= x2－5x + 6 =，
得 y的最小值為，當時取得．
22.3 實際問題與一元二次方程
題目如圖，要設計一幅寬20 cm，長30 cm的圖案，其中
有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的寬度比為3:2，如果要使彩條
所佔面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度（精確
到0.1 cm）？（人教課本p5310題）
分析結合圖形，閱讀理解題意（數形結合）．矩形圖案中，長30 cm，寬20 cm．現設計了橫、豎彩條各2條，且其寬度比為3:2，於是設橫彩條寬為3x cm，則豎彩條的寬就為2x cm，其長與矩形圖案的長寬相關．等量關係式為「使彩條所佔面積是圖案面積的四分之一」．
解根據題意，設橫向彩條的寬為3x，則豎向彩條的寬為2x，於是，
建立方程，得，
化簡，得 12x2－130x + 75 = 0．
解得．因此橫向彩條寬1.8 cm，豎向彩條寬1.2 cm．
另法如圖，建立方程，得．
法三如圖，建立方程，得．
點評列一元二次方程解應用題的一般步驟為：
（1）設：即設好未知數（直接設未知數，間接設未知數），不要漏寫單位；
（2）列：根據題意，列出含有未知數的等式，注意等號兩邊量的單位必須一致；
（3）解：解所列方程；
（4）驗：一是檢驗是否為方程的解，二是檢驗是否為應用題的解；
（5）答：即答題，怎麼問就怎麼答，注意不要漏寫單位．
演變變式1 矩形圖案的長、寬不變，但設計的兩橫兩豎彩條的寬度相同，如果彩條的面積是圖案面積的四分之一，求彩條的寬． （答案：）
變式2 矩形圖案的長、寬不變，現設計乙個正**是與整個矩形長寬比例相同的矩形，其面積是整個矩形面積的四分之三，上下邊等寬，左右等寬，應如何設計四周的寬度？
解因為矩形圖案的長、寬比為30: 20 = 3:2，所以**矩形的長、寬之比也應為3:2，設其長為3x，則寬為2x，所以，得，從而上、下邊寬為
，左、右寬為．
變式3 如圖，一邊長為30 cm，寬20 cm的長方形鐵皮，四角各截去乙個大小相同的正方形，將四邊折起，可以做成乙個無蓋長方體容器．求所得容器的容積v關於截去的小正方形的邊長x的函式關係式，並指出x的取值範圍．
解根據題意可得，v關於x的函式關係式為：
v =（30－2x）（20－2x）x．
即 v = 4x3－100x2 + 600x，
x的取值範圍是0＜x＜10．
變式4 在一塊長30 m、寬20 m的矩形荒地上，要建造乙個花園，並使花園所佔的面積為荒地面積的一半．
小明的設計方案如圖甲所示，其中花園四周小路的寬度都相等．小明通過列方程，並解方程，得到小路的寬為2.5 m或22.5 m．
小亮的設計方案如圖乙所示，其中花園每個角上的扇形（四分之一圓弧）都相同．
解答下列問題：
（1）小明的結果對嗎？為什麼？
（2）請你幫小亮求出圖乙中的x ？
（3）你還有其他設計方案嗎？
甲乙解 （1）小明的設計方案：由於花園四周小路的寬度相等，設其寬為x公尺．
則根據題意，列出方程，得，即 x2－25x + 75 = 0，解得x =或x =．由於矩形荒地的寬是20 m，故捨去x =，得花園四周小路寬為m，所以小明的結果不對．
（2）小亮的設計方案：由於其中花園的四個角上均為相同的扇形，所以設扇形的半徑為x公尺，列方程得，所以m．（3）略．
23.1 圖形的旋轉
題目如圖，△abd，△aec都是等邊三角形．be與dc有什麼關係？你能用旋轉的性質說明上述關係成立的理由嗎？（人教課本p679題）
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