（五）矩陣的秩
定義在矩陣 a 中任取 k 行 k 列，這些行列交叉處的元素按它們在 a 中的排列所構成的行列式，稱為矩陣 a 的 k 階子式。
m ×n矩陣共有ckmckn個 k 階子式。
定義如果在矩陣 a 中有乙個 r 階非零子式 dr ，而所有 r + 1 階子式全等於 0 ，那麼 dr 稱為矩陣 a 的最高端非零子式，數r稱為 a 的秩，記作 r ( a ）。零矩陣沒有非零子式，規定零矩陣的秩為 0。
定理若 a ~ b ，則 r ( a ) = r ( b ）。
這一定理說明初等變換不改變矩陣的秩，因此，當把矩陣變為行階梯形，即可看出矩陣的秩，因為行階梯形的秩就等於非零行的行數。由此還可知，若 r ( a ) = r ，則 a 的標準形左上角為 r 階單位陣，矩陣的標準形由其行數 m 、列數n及秩 r 所完全確定。
（六）例題
【 例 1-8 -5 】設 a 、 b 為n階方陣，ab＝ o ，則
( a ) a = o 或 b = o
( b ）ba＝ o
( c ) （ba）2 = o
( d ) ( a + b ) 2 = a2 ＋b 2
【 解 】 由兩個非零矩陣的乘積可以是零矩陣，知（ a ）不成立；由矩陣乘法不滿**換律，估計（ b ）、（ d ）不成立；而（ ba ) 2 ＝baba＝ boa＝ o 知（ c ）成立，故選 ( c ）。
因此三、 n 維向量
（一） n 維向量
n 個有序數 al , a2 ， … ，an所組成的陣列
α=（α1，α2…αn）
稱為 n 維向量。
為了溝通向量與矩陣的聯絡，，維向量亦記作
並把 α稱為行向量， a 稱為列向量。行向量即行矩陣，列向量即列矩陣，規定向量與矩陣一樣進行運算， αt = a , at = "α；行向量與列向量不能相加。
m 個 n 維列向量
所組成的向量組可對應乙個 n×m 矩陣
反之，乙個 m×n矩陣a有 m 個n維行向量，這些行向量所組成的向量組稱為矩陣a 。的行向量組；同時， a 又有n個 m 維列向量，這些列向量所組成的向量組稱為 a 的列向量組。
（二）向量組的線性相關與線性無關
定義設有向量組 a : α1, α2， … ，αm 與向量β ，如果有一組數 kl , k2， … ， km使
則稱向量β是向量組α1, α2， … ，αm的線性組合，或稱β可由α1, α2， … ，αm，線性表出
定義設有向量組 a : α1, α2， … ，αm，如果有一組不全為 0 的數 kl , k2， … ，km使
則說向量組 a 是線性相關的，否則說向量組 a 是線性無關的。
這時，向量組 a 線性相關，也就是線性方程組。
有非零解，而向量組 a 線性無關也就是上列線性方程組沒有非零解。
這時，向量組 a 是否線性相關，也就是線性方程組
是否有非零解。
定理設向量組 α1, α2， … ，αm線性無關，而向量組α1, α2， … ，αm，β線性相關，則β可由 α1, α2， … ，αm線性表示，且表示式是唯一的。
（三）向量組的秩
定義設有向量組 a ( a 可以含有限個向量，也可以含無限多個向量），如果在 a 中能選出 r 個向量 α1, α2， … ，αr，滿足
( i ) α1, α2， … ，αr線性無關；
( ii ) a 中任意 r 十 1 個向量都線性相關。
則向量組α1, α2， … ，αr稱為向量組 a 的最大線性無關向量組（簡稱最大無關組），數 r 稱為向量組 a 的秩。只含零向量的向量組沒有最大無關組，規定它的秩為 0。
按此定義可知：向量組 a 線性相關的充分必要條件是 a 的秩小於 a 所含向量的個數；線性無關的充分必要條件是 a 的秩等於 a 所含向量的個數。
定義設有兩個向量組 a 與 b ，如果 a 中每個向量都能由向量組 b 線性表示，則稱向量組 a 能由向量組 b 線性表示。如果向量組 a 與 b 能相互線性表示，則稱向量組 a 與 b 等價。
顯然，乙個向量組與它自己的最大無關組等價。
定理若向量組 a 能由向量組 b 線性表示，則向量組 a 的秩不大於向量組 b 的秩。若向量組 a 與 b 等價，則它們的秩相等。
注意向量組等價與矩陣等價是兩個不同的概念，不要混淆。
定理若矩陣 a 經行變換變為矩陣 b ，則 a 的行向量組與b的行向量組等價；若矩陣 a 經列變換變為 b ，則 a 與 b 的列向量組等價；矩陣 a 的行向量組的秩以及列向量組的秩都等於矩陣 a 的秩。
由上述兩定理可推知
( i ）設 n 個 n 維向量構成方陣 a ，則此n個向量線性相關的充分必要條件是| a | =0。
( ii ）設 dr 是矩陣 a 的最高端非零子式，則 dr 所對應的 r 個行向量即是 a 的行向量組的最大無關組， dr 所對應的r個列向量即是 a 的列向量組的最大無關組。
( iii ）設 c ＝ab，則r（ c ）≤ r ( a ) , r ( c ) ≤（ b ）。當b可逆時， r ( c ) = r ( a ) ，當 a 可逆時， r ( c ) = r ( b ）。
（五）例題
[ 例 1 - 8 - 9 ］設 a 為n階方陣，且| a | =0，則必有
( a ) a 中某一行元素全為 0
( b ) a 的第n行是其餘，n - 1 行的線性組合
( c ) a 中有兩列對應元素成比例
( d ) a 中某一列是其餘 n - 1 列的線性組合
【 解 】 | a | =0是 a 的、行（列）線性相關的充分必要條件，而前三項都是充分條件而是非必要條件，只有（ d ）是充分必要條件，故應選（ d ）。
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