牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由於吃的天數不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。
解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰
1) 設定一頭牛一天吃草量為「1」
1）草的生長速度＝（對應的牛頭數×吃的較多天數－相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；
2）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；`
3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；
4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。
這四個公式是解決消長問題的基礎。
由於牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變數。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由於是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。正是由於這個不變數，才能夠匯出上面的四個基本公式。
牛吃草問題經常給出不同頭數的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由於吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。
解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地裡原有草的數量，進而解答題總所求的問題。
這類問題的基本數量關係是：
1.(牛的頭數×吃草較多的天數-牛頭數×吃草較少的天數)÷（吃的較多的天數-吃的較少的天數)=草地每天新長草的量。
2.牛的頭數×吃草天數-每天新長量×吃草天數=草地原有的草。
多塊草地的「牛吃草」問題，一般情況下找多塊草地的最小公倍數，這樣可以減少運算難度，但如果資料較大時，我們一般把面積統一為「1」相對簡單些。
第26講牛吃草問題
「一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？」這道題太簡單了，同學們一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。
如果我們把「一堆草」換成「一片正在生長的草地」，問題就不那麼簡單了，因為草每天都在生長，草的數量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題。
例1牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？
分析與解：這類題難就難在牧場上草的數量每天都在發生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量。總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分。
牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變數。
設1頭牛一天吃的草為1份。那麼，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，後者的總草量是150份，前者是原有的草加 20天新長出的草，後者是原有的草加10天新長出的草。
200－150＝50（份），20—10＝10（天），
說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草
（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
現在已經知道原有草100份，每天新長出草5份。當有25頭牛時，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。
所以，這片草地可供25頭牛吃5天。
在例1的解法中要注意三點：
（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數的差計算出來的。
（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據吃的天數可以計算出原有的草量。
（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其餘的牛吃原有的草，根據原有的草量可以計算出能吃幾天。
例2乙個水池裝乙個進水管和三個同樣的出水管。先開啟進水管，等水池存了一些水後，再開啟出水管。如果同時開啟2個出水管，那麼8分鐘後水池空；如果同時開啟3個出水管，那麼5分鐘後水池空。
那麼出水管比進水管晚開多少分鐘？
分析：雖然表面上沒有「牛吃草」，但因為總的水量在均勻變化，「水」相當於「草」，進水管進的水相當於新長出的草，出水管排的水相當於牛在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。
出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管開啟之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時間內進水管放進的水。因為原有的水量是不變的，所以可以從比較兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題。
設出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個出水管8分鐘所排的水是2×8＝16（份），3個出水管5分鐘所排的水是3×5＝15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時間內的進水量。兩者相減就是在8-5=3（分）內所放進的水量，所以每分鐘的進水量是
有的水，可以求出原有水的水量為
解：設出水管每分鐘排出的水為1份。每分鐘進水量
答：出水管比進水管晚開40分鐘。
例3由於天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？
分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。
設1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒
習題1自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：
該扶梯共有多少級？
分析：與例3比較，「總的草量」變成了「扶梯的梯級總數」，「草」變成了「梯級」，「牛」變成了「速度」，也可以看成牛吃草問題。
上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5＝ 100（級），女孩6分鐘走了15×6＝90（級），女孩比男孩少走了100－90＝10（級），多用了6－5＝1（分），說明電梯1分鐘走10級。
由男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有
（20＋10）×5＝150（級）。
解：自動扶梯每分鐘走
（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（級），
自動扶梯共有（20＋10）×5＝150（級）。
答：扶梯共有150級。
習題2某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時開啟7個檢票口，那麼需多少分鐘？
分析與解：等候檢票的旅客人數在變化，「旅客」相當於「草」，「檢票口」相當於「牛」，可以用牛吃草問題的解法求解。
旅客總數由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經在排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票後新來的旅客。
設1個檢票口1分鐘檢票的人數為1份。因為4個檢票口30分鐘通過（4×30）份，5個檢票口20分鐘通過（5×20）份，說明在（30-20）分鐘內新來旅客（4×30-5×20）份，所以每分鐘新來旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
假設讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其餘的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為
（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同時開啟7個檢票口時，讓2個檢票口專門通過新來的旅客，其餘的檢票口通過原來的旅客，需要
60÷（7-2）=12（分）。
牛吃草問題
1片青草，每天勻速生長，10頭牛20天，15頭10天，25頭幾天？設一頭牛一天吃乙份草 則10頭牛和15頭牛各吃幾份草 10 20 200 份 15 10 150 份 每天生長的草 200 150 20 10 5 份 原有草幾份 200 5 20 100 份 設每天有5頭牛吃新長出來的草則25頭牛吃...
牛吃草問題剖析
分析 讀題後發現和牛吃草問題相似。4個入場口相當於牛的頭數，每分鐘還會有人來排隊相當於草的生長速度x。解析 公式法。y n x t 問我們7個入場口需幾分鐘，那麼150 7 1 t，求出t 25.選擇d。例3 某河段中的沉積河沙可供80人連續開採6個月或60人連續開採10個月。如果要保證該河段河沙不...
牛吃草問題 經典好用
問題說明 英國大科學家牛頓在他所著的 普通算術 一書中曾提出乙個有趣的數學問題 格爾為牧場面積單位 有三片牧場，場上的草長得一樣密，並且長的速度一樣快，它們的面積分別是三又三分之一格爾 10格爾和24格爾。第一片牧場的草飼養12頭牛可以吃4個星期，第二片牧場的草飼養21頭牛可以吃9個星期，問在第三片...