第十二講工程問題之牛吃草問題
教學目標：
1. 理解牛吃草這類題目的解題步驟，掌握牛吃草問題的解題思路.
2. 初步了解牛吃草的變式題，會將一些變式題與牛吃草問題進行區別與聯絡
知識點撥：
英國科學家牛頓在他的《普通算術》一書中，有一道關於牛在牧場上吃草的問題，即牛在牧場上吃草，牧場上的草在不斷的、均勻的生長．後人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做「牛頓問題」．
「牛吃草」問題主要涉及三個量：草的數量、牛的頭數、時間．難點在於隨著時間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定．「牛吃草」問題是小學應用題中的難點．
解「牛吃草」問題的主要依據：
1 草的每天生長量不變；
2 每頭牛每天的食草量不變；
3 草的總量草場原有的草量新生的草量，其中草場原有的草量是乙個固定值
4 新生的草量每天生長量天數．
同一片牧場中的「牛吃草」問題，一般的解法可總結為：
⑴設定1頭牛1天吃草量為「1」；
⑵草的生長速度(對應牛的頭數較多天數對應牛的頭數較少天數) (較多天數較少天數)；
⑶原來的草量對應牛的頭數吃的天數草的生長速度吃的天數；
⑷吃的天數原來的草量(牛的頭數草的生長速度)；
⑸牛的頭數原來的草量吃的天數草的生長速度．
「牛吃草」問題有很多的變例，像抽水問題、檢票口檢票問題等等，只有理解了「牛吃草」問題的本質和解題思路，才能以不變應萬變，輕鬆解決此類問題．
例題精講：
板塊一、一塊地的「牛吃草問題」
【例 1青青一牧場，牧草喂牛羊；
放牛二十七，六周全吃光。
改養廿三只，九周走他方；
若養二十一，可作幾周糧？
（注：「廿」的讀音與「念」相同。「廿」即二十之意。）
【解說】題目翻譯過來是：一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草每天都在生長）
1【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，27頭牛吃6週共吃了份；23頭牛吃9週共吃了份．第二種吃法比第一種吃法多吃了份草，這45份草是牧場的草周生長出來的，所以每週生長的草量為，那麼原有草量為：．
供21頭牛吃，若有15頭牛去吃每週生長的草，剩下6頭牛需要(周)可將原有牧草吃完，即它可供21頭牛吃12周．
【鞏固】 牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長．這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天．供25頭牛可吃幾天？
1【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，10頭牛吃20天共吃了份；15頭牛吃10天共吃了份．第一種吃法比第二種吃法多吃了份草，這50份草是牧場的草天生長出來的，所以每天生長的草量為，那麼原有草量為：．
供25頭牛吃，若有5頭牛去吃每天生長的草，剩下20頭牛需要(天)可將原有牧草吃完，即它可供25頭牛吃5天．
【例 2】 牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那麼它可供多少頭牛吃18周？
1【解析】 設1頭牛1周的吃草量為「1」，草的生長速度為，原有草量為，可供（頭）牛吃18周
【鞏固】 有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那麼它可供幾頭牛吃20天？
1【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，那麼天生長的草量為，所以每天生長的草量為；原有草量為：．
20天裡，草場共提供草，可以讓頭牛吃20天．
【鞏固】 (2023年湖北省「創新杯」)
牧場有一片青草，每天長勢一樣，已知70頭牛24天把草吃完，30頭牛60天把草吃完，則頭牛96天可以把草吃完．
2【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，那麼每天新生長的草量為，牧場原有草量為，要吃96天，需要(頭)牛．
【鞏固】 一牧場放牛58頭，7天把草吃完；若放牛50頭，則9天吃完．假定草的生長量每日相等，每頭牛每日的吃草量也相同，那麼放多少頭牛6天可以把草吃完?
3【解析】 設1頭牛1天的吃草量為1個單位，則每天生長的草量為：，原有草量為：， (頭)
【鞏固】 林子裡有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9週內吃光，21只猴子可在12週內吃光，問如果要4周吃光野果，則需有多少只猴子一起吃？（假定野果生長的速度不變）
2【解析】 設乙隻猴子一周吃的野果為「」，則野果的生長速度是，原有的野果為，如果要4周吃光野果，則需有只猴子一起吃
【例 3】 由於天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天．照此計算，可以供多少頭牛吃10天？
4【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，那麼每天自然減少的草量為：，原有草量為：；10天吃完需要牛的頭數是： (頭)．
【鞏固】 由於天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那麼可供多少頭牛吃12天？
2【解析】 設1頭牛1天吃的草為「1」。牧場上的草每天自然減少；
原來牧場有草，
12天吃完需要牛的頭數是： (頭)或（頭）。
【例 4】 由於天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少．經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天．那麼，可供11頭牛吃幾天？
2【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，天自然減少的草量為，原有草量為：．
若有11頭牛來吃草，每天草減少；所以可供11頭牛吃(天)．
【鞏固】 由於天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供25頭牛吃4天，或可供16頭牛吃6天，那麼可供10頭牛吃多少天？
3【解析】 設1頭牛1天吃的草為「1」。牧場上的草每天自然減少
原來牧場有草
可供10頭牛吃的天數是： (天)。
【例 5】 一塊勻速生長的草地，可供16頭牛吃20天或者供100隻羊吃12天．如果一頭牛一天吃草量等於5隻羊一天的吃草量，那麼這塊草地可供10頭牛和75隻羊一起吃多少天？
1【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，由於一頭牛一天吃草量等於5隻羊一天的吃草量，所以100隻羊吃12天相當於20頭牛吃12天．那麼每天生長的草量為，原有草量為：．
10頭牛和75隻羊1天一起吃的草量，相當於25頭牛一天吃的草量；25頭牛中，若有10頭牛去吃每天生長的草，那麼剩下的15頭牛需要天可以把原有草量吃完，即這塊草地可供10頭牛和75隻羊一起吃8天．
【鞏固】 （年希望盃六年級二試試題）
有一片草場，草每天的生長速度相同。若14頭牛30天可將草吃完，70隻羊16天也可將草吃完(4隻羊一天的吃草量相當於1頭牛一天的吃草量)。那麼，17頭牛和20隻羊多少天可將草吃完?
4【解析】 「4隻羊一天的吃草量相當於1頭牛一天的吃草量」，所以可以設乙隻羊一天的食量為1，那麼14頭牛30天吃了單位草量，而70隻羊16天吃了單位草量，所以草場在每天內增加了草量，原來的草量為草量，所以如果安排17頭牛和20隻羊，即每天食草88草量，經過天，可將草吃完。
【鞏固】 一片牧草，每天生長的速度相同。現在這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60隻羊吃24天。如果1頭牛的吃草量等於4隻羊的吃草量，那麼12頭牛與88隻羊一起吃可以吃幾天？
5【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，隻羊的吃草量等於頭牛的吃草量，隻羊的吃草量等於頭牛的吃草量，所以草的生長速度為，原有草量為，12頭牛與88隻羊一起吃可以吃（天）
【例 6】 有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛則24天可以吃完．現有若干頭牛吃了6天後，賣掉了4頭牛，餘下的牛再吃兩天便將草吃完．問：原來有多少頭牛吃草(草均勻生長)？
1【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，那麼每天生長的草量為，原有草量為：．
現有若干頭牛吃了6天後，賣掉了4頭牛，餘下的牛再吃兩天便將草吃完，如果不賣掉這4頭牛，那麼原有草量需增加才能恰好供這些牛吃8天，所以這些牛的頭數為(頭)．
【鞏固】 一片草地，可供5頭牛吃30天，也可供4頭牛吃40天，如果4頭牛吃30天，又增加了2頭牛一起吃，還可以再吃幾天？
1【解析】 設1頭牛1天的吃草量為「1」，那麼每天生長的草量為，原有草量為：．如果4頭牛吃30天，那麼將會吃去30天的新生長草量以及90原有草量，此時原有草量還剩，而牛的頭數變為6，現在就相當於：「原有草量30，每天生長草量1，那麼6頭牛吃幾天可將它吃完？
」易得答案為： (天)．
【例 7】 一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等於馬每天的吃草量．現在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？
2【解析】 設1匹馬1天吃草量為「1」，根據題意，有：
15天馬和牛吃草量原有草量天新生長草量……⑴
20天馬和羊吃草量原有草量天新生長草量……⑵
30天牛和羊(等於馬)吃草量原有草量天新生長草量……⑶
由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；
由⑶可知，30天羊吃草量天新生長草量，所以：羊每天吃草量每天新生長草量；設馬每天吃的草為份
將上述結果帶入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．
這樣如果同時放牧牛、羊、馬，可以讓羊去吃新生長的草，牛和馬吃原有的草，可以吃： (天)．
【鞏固】 現在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，於是馬、羊吃需要60天吃完，於是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時間?
3【解析】 牛、馬45天吃了原有天新長的草①
牛、馬90天吃了2原有天新長的草⑤
馬、羊60天吃了原有天新長的草②
牛、羊90天吃了原有天新長的草③
馬 90天吃了原有天新長的草④
所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結合③知，羊吃了90天，吃了90天新長的草，所以，可以將羊視為專門吃新長的草．
所以，②知馬60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．
現在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長的草，牛、馬一起吃原有的草.
所需時間為天.
所以，牛、羊、馬一起吃，需36天．
模組二、「牛吃草問題」的變形
【例 8】 乙隻船發現漏水時，已經進了一些水，水勻速進入船內.如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水，8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？
1【解析】 設1人1小時淘出的水量是「1」，淘水速度是，原有水量，
要求2小時淘完，要安排人淘水
【鞏固】 乙隻船發現漏水時，已經進了一些水，現在水勻速進入船內，如果3人淘水40分鐘可以淘完；6人淘水16分鐘可以把水淘完，那麼，5人淘水幾分鐘可以把水淘完？
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