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課題：幾何概型
常州市第一中學高二數學備課組
教材：蘇教版普通高中課程標準實驗教科書數學必修三 §3.3.1
1.教學目標
（1）知識與技能：了解幾何概型的基本特點
會識別幾何概型
並能進行簡單的幾何概率計算．
（2）過程與方法：讓學生通過具體的例項親歷幾何概型概念的建構過程
體驗模擬轉化
數形結合等數學思想方法；通過實際問題的解決
提高學生的建模意識及分析問題、解決問題的能力．
（3）情感、態度與價值觀：創設生活情境
引導學生積極思考、合作**
感受幾何概型在現實生活中的作用
在解決問題的過程中增強學生的規範意識
培養學生的創新精神和合作能力
培養學生的數學應用意識. 過程中滲透數學史的介紹
使學生感悟數學的文化價值
提高學生對數學的學習興趣．
2.教學重點、難點
教學重點：幾何概型的概念和概率計算公式
幾何概型的簡單應用．
教學難點：建立合理的模型把實際問題轉化為幾何問題
準確確定幾何區域d和與事件a對應的區域d
並求出它們的測度．
3.教學方法和教學手段
設定問題情境
讓學生由古典概型的概念延伸到幾何概型的概念
體會二者的區別和聯絡
過程中通過設定問題串讓學生深入思考幾何概型的特點
進而發現幾何概型中概率的計算公式
並且在此過程中增強學生的合作能力和表達能力．
借助多**讓學生在三個例題的解決過程中體會概率的簡單應用
學會在生活中發現、研究並解決數學問題
在回顧反思的環節中提高學生的數學表達能力和交流能力．
4.教學過程
（一）創設情境、引入新課
問題1：在3公尺長的繩子上有四個點pqr
s將繩子五等分
從這四個點中任意一點處將繩子剪斷
如果剪得兩段長都不小於1公尺
那灰太狼就可以不去
那麼他不去的概率是多少？．
容易求得概率為
並藉此問題複習古典概型的特點和概率計算公式
問題2：紅外保護線長3公尺
只有在和兩端距離均不小於1公尺的點接觸紅外線才不會報警
灰太狼能夠安全進羊村的概率是多少？
本問題用和問題1類似的背景提出問題
意在凸顯古典概型和幾何概型的異同
學生可由直觀感受得出概率應為線段長度之比
這時教師再追問是否古典概型
引導學生產生疑問
進而注意到本問題中的基本事件對應於線段上的點
有無數種情形
且等可能發生
並非古典概型
進而將古典概型中基本事件的個數轉化成基本事件構成線段的長度
求出概率
問題3：羊村是個面積為10000平方公尺的矩形
灰太狼在羊村內炸出的圓有100平方公尺
假設喜羊羊在羊村的每一點都是等可能的
那麼他炸到喜羊羊的概率是多少？
由問題2的解決學生可以模擬解決問題3
得出基本事件也對應於點
這時應用平面圖形的面積來刻畫基本事件的數量
求出概率
（二）歸納總結、意義建構
思考：問題2和3均非古典概型
有什麼共同點？
學生通過剛才的分析可以答出基本事件的無限性和等可能性．進一步再思考：基本事件分別是什麼？它們有什麼共同點？進而可以總結：
基本事件：從區域d內任取一點
且取到每一點都是等可能的
隨機事件a的基本事件：從區域d（d含在d內）內任取一點
思考：事件a的概率該如何求解？
在問題2中
為線段的長度之比
問題3中為面積之比
而線段的長度
平面圖形的面積均為對幾何區域大小的一種度量方式
這種度量我們用統一的名字來表示：測度．
由此引入幾何概型的定義：事件a發生的概率與d的測度成正比
我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型．
從定義可以總結出幾何概型的特點是：等可能性
無限性．事件a發生的概率為
其中測度：長度
面積體積等
主要取決於幾何區域d和d
並且和區域d的形狀和位置沒有關係．
（三）鞏固新知、簡單應用
1.在區間[0
9]上任取乙個實數
恰好取在區間[0
3]上的概率為多少？
分析：我們可以把實數和數軸上的點一一對應起來
由此可以把區間[0
9]轉化為一條長為9的線段．
解：記"恰好取在區間[0
3]上"為事件a
在區間[0
9]上任取乙個實數為乙個基本事件
有無數種可能
並且都是等可能發生的．
區域d：區間[0
9]對應的線段
區域d：區間[0
3]對應的線段故．
答：恰好取在區間[0
3]上的概率為．
問題背景本身並非幾何問題
需要將數轉化成點
區間轉化成線段
原問題轉化成乙個幾何問題
思考：這是乙個幾何概型問題
怎樣改變題目的條件
使之變成乙個古典概型問題呢？題目答案並不唯一
可以改成整數
偶數0.1的整數倍等．
由此可以總結解決概率問題的一般步驟：
s1 確定基本事件；
s2 判斷是哪種概型；
s3 代入公式求解概率．
如果是應用題
那麼最前面要加上一步"記事件"
最後面要加上一步"作答"．
2.在邊長為2的正方形中隨機撒一粒豆子
豆子落在正方形內切圓內的概率是多少？
分析：在正方形內隨機丟一粒豆子可以看成是在正方形內隨機取一點
為乙個基本事件
有無數種情況
且均等可能發生
為幾何概型．
解：記"豆子落在正方形內切圓內"為事件a
在正方形內隨機取一點為乙個基本事件
有無數種可能
並且都等可能發生．
區域d：正方形
區域d：內切圓
故．答：豆子落在正方形內切圓內的概率為．
如果我們向正方形內隨機撒n顆豆子
統計落在內切圓內的豆子數為m
那麼事件a發生的頻率為
由概率的統計定義可知
當重複試驗的次數n很大時
有那麼根據我們這裡算出的結果
就有將此式變形
有這個式子有怎樣的實際意義呢？我們可以通過大量重複試驗
統計n和m的值
由來估計圓周率的值．
在我們所學過的概率的統計定義中
我們用大量重複試驗下事件發生的頻率估計概率
而這裡正是運用了頻率和概率的關係
借助計算機模擬進行圓周率的估算
研究圓周率的方法歷史上其實有很多
2023年法國的科學家布豐就做了投針試驗來估計圓周率
他和我們這裡求圓周率的思想一樣
都是用大量重複試驗中概率和頻率的關係來估算圓周率
這個試驗被稱為幾何概型的第一次試驗
3. 乙個20立方公尺的海洋球池裡混入了一顆水晶球
現從中取出0.5立方公尺
含有水晶球的概率是多少？
分析:由於球池中球數很多
故可以將球看成乙個點
轉化成幾何概型問題
解：記"取出的球中含有這個水晶球"為事件a
水晶球在球池中的分布可以看成是隨機的故 .
答：取出的球中含有這個水晶球的概率為0.025.
總結：這三個問題都是幾何概型問題
測度分別為線段的長度
平面圖形的面積
立體圖形的體積．如果題目所給條件並非幾何問題
要學會轉化．
（四）牛刀小試、查漏補缺
1.在△abc內任取一點p
則△abp與△abc的面積比大於0.5的概率是多少？
3.已知地鐵站每隔10分鐘有一班列車到達
每輛列車在車站停1分鐘
則乘客到達站台立即乘上車的概率是多少？
3. 在1公升高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子
從中隨機取出10毫公升
含有麥銹病種子的概率是多少？0.01
（五）回顧反思、總結提煉
古典概型幾何概型特點有限性
等可能性無限性
等可能性公式
（六）作業
1.教材p104習題3.3 123
4；2.思考題：灰太狼和喜洋洋相約在第二天的早上7點到8點在羊村門口碰面
事先約定先到者等候另一方15分鐘
過時離去.那麼雙方能夠碰面的概率是多少？
教學設計說明：
1．對教材的研究和認識
幾何概型是繼古典概型之後學生學習的另一類等可能概型
是對古典概型概念的延伸
同時幾何概型中事件的概率計算公式雖然和古典概型中並不相同
但是本質都是比值
幾何概型中點的個數雖然無限
但是構成點的區域測度卻是可比的
故而也可以認為古典概型是幾何概型的支撐點
幾何概型是古典概型的生長點
兩者相輔相成．要讓學生在比較中提高對古典概型的理解
進一步體會概率的思想及其豐富內涵
但蘊含的數形結合和數學建模的思想凸顯了其重要性．
2. 學情分析
概率的知識學生在初中就已經接觸過
本章在學生所學初步知識的基礎之上系統地學習概率知識．學生在初次接觸幾何概型問題時
基本上都可以依據自己的生活經驗直接得出答案
在此我們要讓學生從理性的角度思考為什麼可以這樣求概率
讓學生能夠用數學的語言去描述問題
用數學的思想和方法去解決問題
培養學生的理性思維．
3. 課堂教學策略的選擇
本節內容大體按六個環節展開：問題情境
意義建構
簡單應用
課堂自測
回顧總結
學生活動穿插在每個環節中．首先從學生熟悉的故事情節出發
使學生能夠從生活例項中提取模型
在古典概型向幾何概型的轉變中發現兩者的相同點和不同點
進一步深究事件的構成情況總結出幾何概型的定義和概率計算公式
這個概念生成的過程由學生積極思考
教師從旁引導完成．為了使學生更深刻的理解概念
教師設定了一系列有梯度的例題
這幾個問題不僅是為了讓學生理解測度的概念
而且也讓學生學會如何從實際問題中提煉出數學模型
在問題解決的過程中鍛鍊他們的合作交流能力．
4. 任務後延
本課教師的意圖不僅是讓學生在這節課上學會知識
而且在課後也能有同樣的學習熱情去鑽研其他問題
故教師在多個環節都給學生預留了自主探索的內容
這樣不但適應了不同層次的學生的需求
而且也極大的激發了學生對數學的好奇心進而增強學習興趣並提高研究問題的能力．
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