例1（2023年青島市初中數學競賽題）某人騎自行車從a地先以每小時12千公尺的速度下坡後，以每小時9千公尺的速度走平路到b地，共用55分鐘.回來時，他以每小時8千公尺的速度通過平路後，以每小時4千公尺的速度上坡，從b地到a地共用1.5小時，求a、b兩地相距多少千公尺？
例2（2023年美國中學數學競賽題）若一商人進貨價便誼8%，而售價保持不變，那麼他的利潤（按進貨價而定）可由目前的x%增加到(x+10)%，x等於多少？
解本題若用直接元x列方程十分不易，可引入輔助元進貨價m，則0.92m是打折扣的**，x是利潤，以百分比表示，那麼寫**貨價（固定不變）的等式，可得：m（1+0.
01x）=0.92m[1+0.01（x+10）].
約去m，得1+0.01x=0.92[1+01.
1（x+10）].解之，得x=15.
例3在三點和四點之間，時鐘上的分針和時針在什麼時候重合？
例4（2023年江蘇東台初中數學競賽題）從兩個重為m千克和n千克，且含銅百分數不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩餘的合金加在一起熔煉後，兩者的含銅百分數相等，問切下的重量是多少千克？
解採用直接元並輔以間接元，設切下的重量為x千克，並設m千克的銅合金中含銅百分數為q1，n千克的銅合金中含銅百分數為q2，則切下的兩塊中分別含銅xq1千克和xq2千克，混合熔煉後所得的兩塊合金中分別含銅[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依題意，有：
二.多元方程和多元方程組
例5（2023年揚州市初一數學競賽題）a、b、c三人各有豆若干粒，要求互相贈送，先由a給b、c，所給的豆數等於b、c原來各有的豆數，依同法再由b給a、c現有豆數，後由c給a、b現有豆數，互送後每人恰好各有64粒，問原來三人各有豆多少粒？
解設a、b、c三人原來各有x、y、z粒豆，可列出下表：
解得：x=104，y=56，z=32.
答：原來a有豆104粒，b有56粒，c有32粒.
例6（2023年寧波市初中數學競賽題）某工廠有九個車間，每個車間原有一樣多的成品，每個車間每天能生產一樣多的成品，而每個檢驗員檢驗的速度也一樣快，a組8個檢驗員在兩天之間將兩個車間的所有成品（所有成品指原有的和後來生產的成品）檢驗完畢後，再去檢驗另兩個車間的所有成品，又用了三天檢驗完畢，在此五天內，b組的檢驗員也檢驗完畢餘下的五個車間的所有成品，問b組有幾個檢驗員？
解設每個車間原有成品x個，每天每個車間能生產y個成品；則乙個車間生產兩天的所有成品為（x+2y）個，乙個車間生產5天的所有成品為(x+5y)個，由於a組的8個檢驗員每天的檢驗速度相等，可得
答：b組有12個檢驗員.
三.關於不等式及不定方程的整數解
例7（2023年武漢市初一數學競賽題）把若干顆花生分給若干只猴子，如果每只猴子分3顆，就剩下8顆；如果每只猴子分5顆，那麼最後乙隻猴子得不到5顆，求猴子的隻數和花生的顆數.
解：設有x只猴子和y顆花生，則：y-3x=8,①5x-y＜5，②由①得：y=8+3x,③③代入②得5x-(8+3x)＜5,∴x＜6.5
因為y與x都是正整數，所以x可能為6，5，4，3，2，1，相應地求出y的值為26，23，20，17，14，11.
經檢驗知，只有x=5，y=23和x=6，y=26這兩組解符合題意.
答：有五隻猴子，23顆花生，或者有六隻猴子，26顆花生.
例8（2023年上海初中數學競賽題）在一次射箭比賽中，已知小王與小張三次中靶環數的積都是36，且總環數相等，還已知小王的最高環數比小張的最高環數多（中箭的環數是不超過10的自然數），則小王的三次射箭的環數從小到大排列是多少？
解設小王和小張三次中靶的環數分別是x、y、z和a、b、c,不妨設x≤y≤z，a≤b≤c，由題意，有：
因為環數為不超過10的自然數，首先有z≠10，否則與①式矛盾.若設z=9,則由①知：xy=4,∴x=2,y=2,或x=1,y=4,∴x+y+z=13或x+y+z=14.
又由②及c＜z知，c|36，∴c=6，這時，ab=6.∴a=2，b=3，或a=1，b=6∴a+b+c=11或a+b+c=13又由③知：x+y+z=a+b+c=13∴取x=2，y=2，z=9.
答：小王的環數分別為2環，2環，9環.
例9（2023年蘇聯全俄第6屆中學生物理數學競賽題）一隊旅客乘坐汽車，要求每輛汽車的乘客人數相等，起初，每輛汽車乘了22人，結果剩下一人未上車；如果有一輛汽車空車開走，那麼所有旅客正好能平均分乘到其它各車上，已知每輛汽車最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車？有多少名旅客？
解設起初有汽車k輛，開走一輛空車後，平均每輛車所乘的旅客為n名，顯然，k≥2，n≤32，由題意，知：22k+1=n(k-1)，
∴k-1=1，或k-1=23,即k=2，或k=24.
當k=2時，n=45不合題意，當k=24時,n=23合題意，這時旅客人數為n(k-1)=529.
答：起初有24輛汽車，有529名旅客四.應用題中的推理問題
競賽中常見的應用題不一定是以求解的面目出現，而是一種邏輯推理型.解答這類題目不僅需要具備較強的分析綜合能力，還要善於用準確簡練的語言來表述自己正確的邏輯思維.
例10（2023年加拿大數學競賽題）有一種體育競賽共含m個專案，有運動員a、b、c參加，在每個專案中，第
一、二、三名分別得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3為正整數且p1＞p2＞p3，最後a得22分，b與c均得9分，b在百公尺賽中取得第一，求m的值，並問在跳高中誰取得第二名？
分析考慮三個得的總分，有方程：m(p1+p2+p3)=22+9+9=40,①又p1+p2+p3≥1+2+3=6，②∴6m≤m(p1+p2+p3)=40，從而m≤6.
由題設知至少有百公尺和跳高兩個專案，從而m≥2，又m|40，所以m可取2、4、5.
考慮m=2，則只有跳高和百公尺，而b百公尺第一，但總分僅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，這樣a不可能得22分.
若m=4，由b可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那麼四項最多得20分，a就不可能得22分，故p1=6.
∵4（p1+p2+p3）=40,∴p2+p3=4.
故有：p2=3,p3=1,a最多得三個第一，乙個第二，一共得分3×6+3=21＜22，矛盾.若m=5，這時由5(p1+p2+p3)=40，得：
p1+p2+p3=8.若p3≥2，則：
p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.
又p1必須大於或等於5,否則,a五次最高只能得20分,與題設矛盾,所以p1≥5.若p1≥6，則p2+p3≤2，這也與題設矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=
故a得了四個第一，乙個第二；
b=9=5+4×1，
故b得了乙個第一，四個第三；c=9=4×2+1，
故c得了四個第二，乙個第三.
一次函式影象問題 1
1.小明外出散步，從家走了20分鐘後到達了乙個離家900公尺的報亭，看了10分鐘的報紙然後用了15分鐘返回到家 則下列影象能表示小明離家距離與時間關係的是 a b c d 2.如圖，乙隻螞蟻以均勻的速度沿台階a1a2a3a4a5爬行，那麼螞蟻爬行的高度h隨時間t變化的影象大致是 a b cd 3.圖...
一次函式影象
數學人教版稅東中學八年級 教學目標 一 教學知識點 掌握一次函式的圖象的畫法 結合圖象，使學生初步理解一次函式的性質並體會其性質.2 理解一次函式圖象特徵與解析式的聯絡規律 二 能力訓練要求 通過模擬的方法學習一次函式，體會數學研究方法多樣性 進一步提高分析概括 總結歸納能力 利用數形結合思想，進一...
一次函式影象 一次函式的應用練習
1 下列函式中，圖象經過原點的是 a y 3x b y 1 2x c y d y x2 1 2 直線y x 1不經過的象限是 a 第一象限 b 第 二 象限 c 第三象限 d 第四象限 3.若一次函式y m 3 x 5的函式值y隨的增大而增大，則 abc d 4.如果乙個正比例函式的圖象經過點a 3...