我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。對於等腰三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關係定理外，它們還分別存在著兩邊相等和三邊相等的特殊關係。
那麼對於直角三角形的邊，除滿足三邊關係定理外，它們之間也存在著特殊的關係，這就是我們這一章要研究的問題：勾股定理。我國是最早了解勾股定理的國家之一介紹商高（三千多年前週期數學家），我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的直角邊為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來．（在國外也叫畢達哥拉斯定理）
提問： 1、圖1一 3中，a 、b、c之間有什麼關係？
2、圖1 一 4中，a 、 b 、c 之間有什麼關係？
3、從圖 1一l 、 1一2 、1一3 、l一4中你發現了什麼？
總結：以直角三角形兩直角邊為邊的正方形面積和，等於以斜邊為邊的正方形面積。
議一議1、圖1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角邊的邊長表示正方形的面積嗎？
2、你能發現直角三角形三邊長度之間的關係嗎？
3、分別以5厘公尺和12厘公尺為直角邊作出乙個直角三角形，並測量斜邊的長度？
4、（想一想）：這裡的29英吋（74厘公尺）的申視機，指的是螢幕的長嗎？指的螢幕的寬嗎？那它指的是什麼呢？
通過數格仔的方法發現了直角三角形三邊的關係，究竟是幾個例項，是否具有普遍的意義，還需要加以論證，下面就是今天所要研究的內容，下邊請大家畫四個全等的直角三角形，並把它剪下來，用這四個直角三角形拼一拼、擺一擺，看看能否得到乙個含有以斜邊c為邊長的正方形，並與同學們交流。
提問：大正方形的面積可表示為什麼？同學們回答有兩種可能：（1） （2）
在同學交流形成共識後教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連線起來。
請同學們對上式進行化簡，得到：
即 這就可以從理論上說明了勾股定理存在。
注：定理存在於直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
一根用 13 個等距的結把它分成等長的12 段的繩子，請三個同學上台，按老師的要求操作。
甲：同時握住繩子的第乙個結和第十三個結。
乙：握住第四個結。
丙：握住第八個結。
拉緊繩子，讓乙個同學用量角器，測出這三角形其中的最大角。
問：發現這個角是多少？
這是古埃及人曾經用過這種方法得到直角，這個三角形三邊長分別為多少？
( 3、4、5 ) ，這三邊滿足了哪些條件？ ( ），是不是只有三邊長為3、4、 5的三角形才可以成為直角三角形呢？現在請同學們做一做。
二、做一做
下面的三組數分別是乙個三角形的三邊a、b、c。
5、12、13 7、24、25 8、15、17
1、這三組數都滿足嗎？
2、分別用每組數為三邊作三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？
如果三角形的三邊長a、b、c滿足，那麼這個三角形是直角三角形。
滿足的三個正整數，稱為勾股數。
大家可以想這樣的勾股數是很多的。
今後我們可以利用「三角形三邊a、b、c滿足時，三角形為直角形」來判斷三角形的形狀，同時也可以用來判定兩條直線是否垂直的方法。
學習勾股定理六注意
勾股定理是平面幾何中的重要定理，其應用極其廣泛，在應用勾股定理時，要注意以下幾點：
一、要注意正確使用勾股定理
二、要注意定理存在的條件
例2 在邊長為整數的△abc中，ab>ac，如果ac=4，bc=3，求ab的長。
三、要注意原定理與逆定理的區別
例3 如圖1，在△abc中，ad是高，且，求證：△abc為直角三角形。
四、要注意防止漏解
例4 在rt△abc中，a=3，b=4，求c。
五、要注意正逆合用
在解題中，我們常將勾股定理及其逆定理結合起來使用，乙個是性質，乙個是判定，真所謂珠聯壁合。當然在具體運用時，到底是先用性質，還是先用判定，要視具體情況而言。 證明在△abc中，由ad是高有：
例5 在△abc中，d為bc邊上的點，已知ab=13，ad=12，ac=15，bd=5，那麼dc
六、要注意創造條件應用
例6 如圖3，在△abc中，∠c=90°，d是ab的中點，de⊥de，de、df分別交ac、bc、於e、f，求證：
分析因為ef、ae、bf不是乙個三解形的三邊，所以要證明結論成立，必須作適當的輔助線，把結論中三條線段遷移到乙個三角形中，然後再證明與ef相等的邊所對的角為直角既可，為此，延長ed到g，使dg=de，鏈結bg、fg，則易證明信bg=ae，gf=ef，
基礎篇1、 判斷
（1）若直角三角形的兩邊長分別為3cm、4cm，則第三邊長為5cm
（2）在直角三角形abc中，a2+b2=c2
（3）判斷：若直角三角形中兩直角邊長為a、b，斜邊長為c，斜邊上的高為h，則。（ ）
2、 選擇
（1）以面積為9m2正方形的對角線為邊作乙個正方形，其面積為（ ）
（a）9m2 (b)13m2 (c)18m2 (d)24m2
（2）在rt△abc中，若斜邊，則
（a）2 （b）4 （c）8 （d）16
(3). 把直角三角形兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則其斜邊（ ）
a. 擴大到原來的2倍 b. 擴大到原來的4倍
c. 不變 d. 減少到原來的2倍
3、填空
（1）已知△abc中，∠c=90°，若c=34，a:b=8:15，則a= ，b= .
（2）如圖，求下列直角三角形中未知邊的長度
xx（3）若直角三角形兩直角邊長分別為3、4，則以斜邊為直徑的圓的面積為
（4）若直角三角形的三邊長是不大於10的三個連續偶數，則其周長為 。
（5）若三角形的三邊長分別為9cm、12cm、15cm，則長為15cm的邊上的高為 cm。
（6）在rt△abc中，∠c=90°，ac=3，bc=8，則bc邊上的中線ad的長為 。
提高篇4、解答：
（1）如圖是水上樂園的一滑梯，ad=ab，若高bc=4cm，cd=2cm ,求滑道ad的長。
（2）a、b、c、d四個住宅小區位置如圖所示，已知：ab=0.5km，ad=1.2km，cd=0.9km，現要建乙個公交總站，使它到四個小區路程和最短，
① 請在圖上畫出車站的位置，並說明為什麼；
② 求這個最小的路程和。
（3）如圖，已知矩形紙片abcd中，ab=6，bc=8，將紙片摺疊，使點a與點c重合，求摺痕ef長。
（4）已知△abc中，ab=7，bc=6，ac=4，ad、ae分別為bc邊上的高和中線，求de的長。
中考題選做
1、瀋陽市某中學舉辦校園文化藝術節，小穎設計了同學們喜歡的圖案《我的寶貝》。圖案的一部分是以斜邊長為12cm的等腰直角三角形的各邊為直徑作半圓(如圖3)，則圖中陰影部分的面積為( )
a、36πcm2 b、72πcm2
c、36cm2 d、72cm2
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