第二章波行法
本章將利用行波法和球平均法分別求解一維和二維、三波動方程cauchy問題的
§1 一維波動方程的cauchy問題
一、 d』alembert 公式
考慮初始位移為，初始速度為的無界弦的自由振動，該振動可以歸結為如下初值問題：
（2.1）
由第一章第三節弦振動方程可經自變數變換簡化，作變換：
由代入方程(2.1)得
由 ，
有 先對積分,得
其中是任意的函式,再對積分,得到
其中都是任意的函式.把換成x,t的表示式,即得
2.2)
(2.2)給出的僅僅是泛定方程的解為了得到滿足(2.1)的解,考慮初值條件
2.3)
和2.4)
將(2.4)兩端取從到積分：
2.5)
其中.聯立(2.4)和(2.5)，解得：
將以上兩式代入(2.2)即得cauchy問題(2.1)的解
這叫做一維波動方程cauchy問題的d』alembert公式.。
(1) 可以證明，當時，d』alembert公式一定滿足cauchy問題，故該問題的解存在。
(2) 得到d』alember公式乙個解，故該問題的解是唯一的。
(3) 穩定性。 設
有解，對，當，，時，有
取，則，故穩定。
結論：當時，cauchy問題是適定的。
二、 解的討論
（1）泛定方程解的物理意義
令，得是方程的解，當取不同的值時，它表示相應於不同時刻的振動狀態：
表示初始時刻振動狀態，
表示時刻振動狀態。
在平面上，將向右平移距離即得到，隨著的增大,將逐漸地往右平行移動，故稱齊次波動方程形如的解為右行波。
右行波在傳播過程中波形不變, 經過時刻，波形移動了的距離，右行波的傳播速度為乙個常數，速度不變。
為左行波，它表示波形以速度向左傳播，且傳播過程中，波形也不變化。
（2）d』alember公式的物理意義
1）初始位移引起的振動
由達朗貝爾公式
，即初始位移分為兩半分別向左、右兩方以速度移動(圖2由下而上各圖的細線所描繪)，這兩個行波的和(圖2由下而上的粗線所描繪)給出各個時刻波形。
圖1圖2
物理現象為弦上各點，振動未傳播到時，處於平衡位置時，振動傳到時，相應點將發生位移的變化，振動傳過後，該點仍回覆到平衡位置。初始位移引起的振動有清晰的波前和波後。
2）初始速度引起的振動：
設取 ，此時
是的乙個原函式，
其圖形由圖3給出， 時，為與的疊加，為左行波和右行波疊加而成。
的波形見圖4，
細線表示左、右行波，
粗線表示兩者的疊加。
隨著時間的推移，
波形為上下底邊
逐漸伸長的等腰梯形。
弦上各點在未擾動前處於平衡狀態，對某固定點而言，一經擾動，就不再回覆到原來的位置，此種現象成為有持久後效。初始速度引起的振動有清晰的波前而無清晰的波後。
三、 影響區域、依賴區間、決定區域
（1）影響區域
假定初值
討論在哪些點上的初始振動，在時刻的傳播範圍。
由泛定方程解的物理意義知：由左、右行波疊加而得。上的初始振動，在時刻，右行波傳到，左行波傳到，因此經過時刻，初始振動傳播的範圍是：，稱區域
為區間的
影響區域，見圖5.
x1 x2
（2）依賴區間依賴區域是討論時空平面上任一點的將依賴於哪些點的初值問題。
由d』alembert公式
僅依賴於上的初值，稱區間為點的依賴區間
(3) 決定區域
在上給定了初值，則點的值也就被確定。點與區間端點連線的斜率分別為, 因此過作斜率為的直線，過作斜率為的直線,此兩條直線與圍成區域見圖6，稱三角區域b為區間的決定區域。
x1 x2
四、 齊次化原理（duhamel原理）
一條無界弦，初位移、初速度為0，受外力作用作強迫振動.
(i)其中齊次化原理設是齊次cauchy問題
(ii)
的解，其中是引數，則
為非齊次方程cauchy問題(i)的解。
衝量原理的物理意義：
由衝量原理在時間段，外力f的作用相當於在原有運動速度的基礎上增加了的速度，即可視為單位質量物體在時刻獲得的初始速度，將各時間段的作用疊加起來即得外力在時間內對弦的作用
利用齊次化原理給出非齊次方程cauchy問題(i)的解。 令，則問題(ii)變為:
（iii）
由d』alembert公式有:
所以問題(i)的解為:
對一般非齊次一維波動方程cauchy問題
利用疊加原理
(i)(ii)
對於有界弦非齊次方程混合問題
(i)也有類似的齊次化原理: 若是
(ii)
的解, 則為非齊次方程混合問題(i)的解。
對非齊次熱傳導方程混合問題,可把持續熱源的作用視為若干瞬時熱源作用的疊加,也有相應的齊次化原理.
若是如下齊次方程混合問題的解,
(i)則為非齊次方程混合問題
(ii)
的解。作業：179頁 1，2。
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