§1.2 概率的定義及其確定方法
在本節，我們要給出概率的定義，這是概率論中最基本的概念。本節中我們還將介紹幾種確定概率的方法。
隨機事件的發生有偶然性，但我們常常會覺察到隨機事件發生的可能性是有大小之分的。例如，購買彩票後可能中大獎，可能不中獎，但中大獎的可能性遠比不中獎的可能性小。既然各種事件發生的可能性有大有小，自然使人們想到用乙個數字表示事件發生的可能性大小。
這個數字就稱為事件的概率。
然而，對於給定的事件，該用哪個數字作為它的概率呢？這決定於所研究的隨機現象或隨機試驗以及事件的特殊性，不能一概而論。在概率論的發展歷史上，人們針對特定的隨機試驗提出過不同的概率的定義和確定概率的方法：
古典定義、幾何定義和頻率定義。這些概率的定義和確定方法雖然有其合理性，但也只適合於特定的隨機現象，有很大的侷限性。那麼如何給出適合於一切隨機現象的概率的最一般的定義呢?
2023年數學家希爾伯特提出要建立概率的公理化定義以解決這個問題,即以最少的幾條本質特性出發去刻畫概率的概念.2023年數學家柯爾莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定義,這一公理化體系迅速得到舉世公認,有了這個定義後,概率論才被正式承認為乙個數學分支,並得到迅猛發展.
1. 概率的公理化定義
定義1.2.1 設為樣本空間,為的某些子集組成的事件域.是定義在事件域上的實值集函式,如果它滿足:
(1) 非負性公理對於任一,有;
(2) 正則性公理;
(3) 可列可加性公理若……兩兩互不相容,則
則稱為事件的概率,稱三元總體為概率空間.
概率的公理化定義刻畫了概率的本質，概率是集合（事件）的實值函式，若在事件域上給出乙個函式，只要這個函式滿足上述三條公理就稱為概率。
這個定義只涉及樣本空間和事件域及概率的最本質的性質而與具體的隨機現象無關。對於具體的隨機現象中的給定的事件，其概率如何合理地確定那要依據具體情況而定。歷史上出現的概率的頻率定義、古典定義和幾何定義都是特定的場合下有著各自的確定概率的方法。
在有了概率的公理化定義之後，把它們看作確定概率的方法是恰當的。下面介紹這些確定概率的方法。
2. 頻率方法
設為一隨機試驗，為其中一事件，在相同條件下將獨立重複做次，記為事件發生的次數（也叫頻數），比值
稱為事件在這次試驗中的頻率。
容易驗證頻率滿足概率的公理化定義中的三條公理。
一般地，如事件發生的可能性愈大，那麼在多次重複試驗中, 事件發生愈頻繁即頻率也愈大.反之,頻率愈大表明事件發生的可能性愈大.因此事件頻率的大小與事件發生的可能性大小有密切的聯絡.
但是還不能把事件的頻率就確定為概率,因為頻率有「波動性」.長期實踐表明,隨著試驗次數的增加,頻率會穩定於某乙個常數,這個頻率的穩定值是由事件本身決定的並且這樣的穩定值滿足概率的公理化定義中的三條公理,因能把這個穩定值確定為事件的概率是合理的.
這種確定概率的方法雖然有其合理性,但其缺點是明顯的:在現實世界裡,人們無法把乙個試驗無限次地重複下去,因此我們無法精確地得到頻率的穩定值.儘管有明顯的缺點,但這種方法有其重大意義:
一方面,頻率具有穩定性這一客觀事實給概率提供經驗背景.同時頻率方法給我們提供了乙個可以想象的具體值,並且在試驗次數較大時,可用頻率給出概率的近似值.例如,工業生產中,依據抽檢的一些產品估計產品的廢品率.
另一方面,它提供了檢驗理論正確與否的準則.設想依據某一理論或假定算出了某事件的概率為,這一理論或假定是否與實際相符,我們並無把握,於是我們可訴諸試驗,即進行大量重複試驗以觀察事件的頻率.若頻率與接近,則可認為試驗結果支援了有關理論或假定.
若頻率與相差較大,則認為理論可能有誤.例如,在拋硬幣的試驗中,假定正反面出現的可能性相等,則出現正面的概率與出現反面的概率都是0.5, 如果我們多次拋擲硬幣,若正面出現的頻率與0.
5相差甚遠,那麼正反面出現的可能性相等這個假定的正確性值得懷疑.
下面是頻率穩定性的幾個例項.
3. 古典方法
確定概率的古典方法是概率論歷史上最早研究的情形，它簡單、直觀、不需做大量重複試驗。
先看乙個簡單試驗：擲乙個六面均勻的骰子，這個試驗有6個基本結果，如果六個面是平等看待，那麼可以認為每個面朝上的可能性相同，即每個點數出現的概率相等，這樣的試驗稱為古典概型。在古典概型中，事件的概率應該與事件包含的樣本點個數成正比，事件的概率也就能容易地確定。
如果試驗具有下列性質
（1） 試驗的基本結果只有有限個，即試驗的樣本空間為有限樣本空間；
（2） 一切基本事科發生的可能性相等。
則稱試驗為古典概型。
設試驗為古典概型，樣本空間包含有個樣本點，為試驗的一事件，且事件包含個樣本點，則事件的概率為
古典方法是概率論發展初期確定概率的常用方法，在古典方法中，為求乙個事件的概率，需求出試驗的等可能的基本結果總數和事件包含的基本結果數。
例將一硬幣拋3次，假設每次拋擲**現正面和反面的可能性相等，求恰好出現1次正面的概率。
解：由於每次拋擲**現正面和反面的可能性相等，因此該試驗的等可能的基本結果有8個。即樣本空間取為
且各個基本結果具有等可能性，而事件「恰好出現1次正面」包含1個樣本點「hhh」,即,所以所求的概率為
注意,此試驗中若我們考慮的樣本空間為,那麼「恰好出現1次正面」為的子事,但並不能由此得出的概率為,因為樣本空間為的各個基本事件不具有等可能性.因此用古典方法確定概率時一定要注意「基本事件的等可能性」.
當樣本空間中樣本點較多時,我們不必將樣本點一一枚舉出來,而只需求出樣本點總數和事件包含的樣本點個數,但要注意「等可能性」.下面介紹古典概型中幾件常見的模型.
一、抽樣模型(也叫取球模型)
抽樣有兩種方式：不放回抽樣與放回抽樣
1. 不放回抽樣：乙個總體由兩類元素(用a,b表示)組成，共有元素,其中有個a類元素,個b類元素,從中任取個元素,我們常關注取出元素a類成b類元素的個數.
求事件「取出的個元素中有個a類元素」的概率.
解:樣本空間中樣本點的總數為,事件包含的樣本點個數為.由於是隨機抽取的,所以這個基本事件是等可能,故所求的概率是
若引入隨機變數:取出的a類元素的個數,則可得的概率分布（或分布列。隨機變數的概率分布就是全面地、動態地描述隨機變數取各個可能值的概率規律）為
,為方便,我們約定: 或,那麼上述概率分布可寫為
,以上的概率分布稱為超幾何分布(後面章節會繼續討論這種分布),這種分布在抽樣調查中是很重要的.比如件產品中有件不合格品,件合格品,從中抽檢件產品.在實際問題中,的值已知,而的值未知,要根據抽查的件產品中的次品件數去推斷的值,這屬於統計問題.
也有的值已知,而的值未知的情況,例如，從某一湖裡,捕捉尾魚,將這些魚作上某種標記,然後放回湖中,過一段時間後,再從湖中捕捉出尾魚,發現其中有尾有標記,對該湖中魚的總數能作出什麼結論?這個問題在學習數理統計時再來討論.
注: 1.對以上模型作稍微的改變:乙個袋有7個球,其中5個紅球,2個白球.從中依次取3次球,每次取乙個,取後不放回.試求下列事件的概率,
(1) 「前2次取到紅球,最後1次取到白球」;
(2) 「取到2個紅球,1個白球」;
(3) 「第2次取到紅球」.
解: (1)
錯解:(2)或 在此問題中,兩種做法都可得出正確答案,為什麼?
(3)或可以看出,第2次取到紅球的概率與第1次取到紅球的概率相等,同樣地可算出第3次取到紅球的的概率也是.這就是「抽籤與順序無關」的原理,從概率論上解釋了「抓鬮的公平性」.
2. 以上模型可推廣至個元素由多類元素組成的情形,比如,一批產品共件,其中有件一等品,件二等品,件三等品(),從中任取件產品,則取到件一等品,件二等品,件三等品()的概率為
教材的例1.2.5(彩票問題)就屬這類問題.
若引入隨機變數:分別表示取出的一等品和二等品件數,則的概率分布屬於多項超幾何分布.
2. 放回抽樣: 乙個總體由兩類元素(用a,b表示)組成，共有元素,其中有個a類元素,個b類元素,從中依次取次,每次取1個元素,取後放回.
求事件「取出的個元素中有個a類元素」的概率.
解:樣本空間中樣本點的總數為,事件包含的樣本點個數為.由於是隨機抽取的,所以這個基本事件是等可能,故所求的概率是
將上面結果變形為
,其中,這是什麼模型的概率問題(這是你們中學學過的)?
若引入隨機變數:表示取出的a類元素的個數,則可得的概率分布為
, ,以上的概率分布稱為二項分布(後面章節會繼續討論這種分布).二項分布的一種推廣就是多項分布.
二、盒子模型(也叫放球模型)
設有個球,每個球都等可能地放到個盒子中的任乙個,盒子的容量不限.
(1) 設,求球放入不同盒子中的概率;
(2) 求某指定的盒子為空盒的概率的概率;
(3) 求某指定的盒子有個球的概率的概率
解: (1)設表示事件「球放入不同盒子中」,則
(2) 設表示事件「某指定的盒子為空盒」,則
(3) 設表示事件「某指定的盒子有個球」,則
以上結果可變形為
由變形後的結果會想到什麼概率模型?
在盒子模型中,我們還會關注於各個盒子的球的數目或球的分布狀況.我們看下面問題:
將6個球隨機地放入5個盒子中,5個盒子分別編號1,2,3,4,5.則1號,2號,3號,4號,5號盒子中分別有2個球,2球,1個球,1個球,和0個球的球的概率為
思考:6個球的分布狀況是2,2,1,1,0(即有2個盒子各放2個球,3個盒子各放1個球,1個盒子沒球)的概率是多少?
教材的例1.2.7(生日問題)屬盒子模型的問題.
三、補充問題:重複組合問題及其應用
從個不同元素中每次取乙個,放回後取下乙個,如此連續取次所得的組合稱為重複組合(不考慮次序).那麼重複組合數是多少呢?
易見,這個問題等價於將個不可分辨的球放入個盒子(盒子是可分辨的)中,可區分的放球結果有多少種?
為求解此問題,我們先求每個盒子至少有1個球的不同放法的總數(此時要求.設想將個球排成一行,相鄰兩球之間各有乙個空格,共有個空格,在這個空格中任取個空格上插入「|」,每種插法一一對應於每個盒子都有球的一種放法，於是可得每個盒子都有球的放法共有。
再考慮原方問題的求解，設想先在每個盒子中各放1球，，由此可知將個不可分辨的球放入個盒子中,可區分的放球結果有（或）種。
以上問題也等價於方程
共有多少個正整數解及多少個非負整數解的問題。
等價的問題有很多，請思考下面問題。
思考：（1）同時擲個相同的骰子，可區分的結果共有多少種？
（2）的展開式中共有多少項？
（3）元函式的階偏導共有多少個（假定偏導存在且連續）？
例乙個通訊系統含有個天線，順序地排成一行，只要沒有兩個連續的天線都失效，這個系統就可以接收到資訊，現已探明這個天線裡，恰有個天線失效，問此系統仍然有效的概率有多大？
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