三角函式
一、高考**
該專題是高考重點考查的部分，從最近幾年考查的情況看，主要考查三角函式的圖象和性質、三角函式式的化簡與求值、正餘弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函式、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問題中的應用．該部分在試卷中一般
1.考小題，重在基礎運用
考查的重點在於基礎知識：解析式、圖象及圖象變換、兩域（定義域、值域）、四性（單調性、奇偶性、對稱性、週期性）、 反函式以及簡單的三角變換（求值、化簡及比較大小）。
2.考大題，難度明顯降低
有關三角函式的大題即解答題，通過三角公式變形、轉換來考查思維能力的題目已經沒有了，而是考查基礎知識、基本技能和基本方法。解答題的形式進行考查，且難度不大，主要考查以下四類問題：（1）與三角函式單調性有關的問題；（2）與三角函式圖象有關的問題；（3）應用同角三角函式的基本關係和誘導公式求三角函式值及化簡和等式證明的問題；（4）與週期有關的問題．
高考備考是緊張的、同時也是收穫的前夜。成功永遠屬於那些準備充分的人們．祝願各位在2023年的高考中取得輝煌成績。
圖象上公升時與x軸的交點）為，其他依次類推即可。
3．五點法作y=asin（ωx+）的簡圖：五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。3．函式最大值是，最小值是，週期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。
4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移後伸縮，但先伸縮後平移也經常出現無論哪種變形，請切記每乙個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看「變數」起多大變化，而不是「角變化」多少。
途徑一：先平移變換再週期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
途徑二：先週期變換(伸縮變換)再平移變換。先將y＝sinx的圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
要點3：與三角函式的性質有關的問題
1．正弦函式、余弦函式、正切函式的影象
2．三角函式的單調區間：的遞增區間是，
遞減區間是；
的遞增區間是，遞減區間是，
的遞增區間是，
5．求三角函式的週期的常用方法：經過恒等變形化成「、」的形式，在利用週期公式，另外還有影象法和定義法。
要點4：三角變換及求值
1．兩角和與差的三角函式；
。3．三角函式式的化簡
常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：
①能求出值的應求出值；②使三角函式種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函式；⑤盡量使被開方數不含三角函式。（1）降冪公式；；。（2）輔助角公式
4．三角函式的求值型別有三類
（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關係，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函式值問題；
（2）給值求值：給出某些角的三角函式式的值，求另外一些角的三角函式值，解題的關鍵在於「變角」，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的範圍的討論；
（3）給值求角：實質上轉化為「給值求值」問題，由所得的所求角的函式值結合所求角的範圍及函式的單調性求得角。
要點5：正、餘弦定理的應用
1．直角三角形中各元素間的關係：如圖，在△abc中，c＝90°，ab＝c，ac＝b，bc＝a。
（1）三邊之間的關係：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關係：a＋b＝90°；（3）邊角之間的關係：（銳角三角函式定義）
sina＝cosb＝，cosa＝sinb＝，tana＝。
2．斜三角形中各元素間的關係：如圖6-29，在△abc中，a、b、c為其內角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊。（1）三角形內角和：a＋b＋c＝π。
（2）正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。
。（r為外接圓半徑）
＝；（4）△＝2r2sinasinbsinc。（r為外接圓半徑）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。
解斜三角形的主要依據是：設△abc的三邊為a、b、c，對應的三個角為a、b、c。
（1）角與角關係：a+b+c = π；（2）邊與邊關係：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；（3）邊與角關係：
正弦定理 （r為外接圓半徑）；餘弦定理 c2 = a2+b2－2bccosc，b2 = a2+c2－2accosb，a2 = b2+c2－2bccosa；它們的變形形式有：a = 2r sina，，。
三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。
要點7：向量與三角函式的綜合
平面向量融數、形於一體,具有幾何與代數的「雙重身份」,從而它成為了中學數學知識交匯和聯絡其他知識點的橋梁.平面向量的運用可以拓寬解題思路和解題方法.在高考試題中，其一主要考查平面向量的性質和運算法則，以及基本運算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、數乘和內積的運算法則，理解其幾何意義，並能正確的進行計算；其二是考查向量的座標表示，向量的線性運算；其三是和其它數學知識結合在一起，如和曲線、數列等知識結合．向量的平行與垂直，向量的夾角及距離，向量的物理、幾何意義，平面向量基本定理，向量數量積的運算、化簡與解析幾何、三角、不等式、數列等知識的結合，始終是命題的重點．
三、易錯點點睛
命題角度1 三角函式的圖象和性質
[專家把脈] 上面解答求出k的範圍只能保證y= 的影象與y=k有交點，但不能保證y=的影象與y=k有兩個交點，如k=1，兩影象有三個交點．因此，正確的解答要作出了y=的影象，運用數形結合的思想求解．
[對症下藥] 填(1，3)∵= 作出其影象如圖
從圖5-1中可看出：當12．要得到函式y=cosx的影象，只需將函式y=sin(2x+)的影象上所有的點的 ( )
[考場錯解]∵將函式y=sin(2x+)的所有點的橫座標縮短到原來的倍，得函式y=sin(x+)的影象，再向右平行移動子個單位長度後得函式y=sin(x+)=cosx的影象．故選b．
將函式y=sin(2x+)變形為y=sin2(x+)．若將其影象橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)後得函式y=sin(x+)的影象．再向右平行移動個單位長度後得y=cosx的影象，選d．
[對症下藥] 選c 將函式y=sin(2x+)影象上所有的點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)，得函式y=sin(x+)的影象；再向左平行移動子個單位長度後便得y=sin(x++)=cosx的影象．故選c．
3．設函式=sin(2x+)(-π<<0)，y=影象的一條對稱軸是直線x=. (1)求； (2)求函式y=的單調增區間； (3)畫出函式y=在區間[0，π]上的影象．
[考場錯解] (1)∵x=是函式y=的影象的對稱軸，∴sin(2×+)=±1，∴ +=kπ+k
[專家把脈]以上解答錯在第（2）小題求函式單調區間時，令處，因若把看成乙個整體u，則y=sinu的週期為2π。故應令，解得的x範圍才是原函式的遞增區間.
（3）由知
故函式y=f(x)在區間[0,π]上影象是
5. 求函式的最小正週期和最小值；並寫出該函式在上的單調遞增區間。
[考場錯解]
故該函式的最小正週期是；
[對症下藥]∵函式y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x
=sin2x-cos2x=2sin(2x-)．故該函式的最小正週期是π.
當2x-=2kπ-時，即x=kπ-時，y有最小值
y=sin(-2x)， y=lgsin(2x+))的單調性，在解決這類問題時，不能簡單地把，x+， -2x，2x+,看作乙個整體，還應考慮函式的定義域等問題．y=asin(ωx+)與y=sinx影象間的關係：由y=sinx影象可以先平移後伸縮，也可先伸縮後平專家會診移．要注意順序不同，平移單位也不同．一般地， y=asib(ωx+)的圖象向左平移a個單位得到y=asin[ω(x+a)+] 的圖象，再把其上所有點的橫座標變為原來的，即得到y=asin[ωw1+ωa+]的影象．
命題角度2三角函式的恒等變形
1．設α為第四象限的角，若，則tan2
[考場錯解] 填±∵
∴ [考場錯解] (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxcosx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-.
[專家把脈] 以上解答在利用三角恒等變形化簡時出現了錯誤．即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時認為2sin2 =1+cosx，用錯了公式，因為 2sin2 =1-cosx．因此原式化簡結果是錯誤的．
[對症下藥]解法1(1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-．
∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又∵- 0，∵-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 將tanα=-代入上式得sin(2α+)=
將tanα=時代入上式得
即於是，，
將代入上式得sin(2α+)=
[考場錯解] ∵=∵的最大值為1，
∴．∴a=3
[專家把脈] 上面解答在三角恒等變形中，用錯了兩個公式：①1+cos2x≠2sin2x；②sin(+x)≠sinx因為 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1．∴1+cos2x=2cos2x．由誘導公式「奇變偶不變」知sin(+x)=cosx．
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