專題---導數
一、導函式的概念：
當變化時，便是的乙個函式，這一新的函式叫做的導函式（導數），記作。
例1.設是可導函式，且______.
練2.設是可導函式，且______.
二、基本初等函式的求導公式：
（1）_______（c為常數）； （2
（3）____；(為常數)；（4）_____； （5）______；（且）
（678且）
（910）_______；
三、導數的運算法則
例3.求下列函式的導數
（1）； （2）； （3）； （4） （5）；
練4.求下列函式的導數
（1）（2）； （3）； （4）；
練5.下列求導的式子中正確的是
a. b. c. d.
例6.已知，則
abcd. 3
練7.已知函式的導函式為，且滿足關係式，則______．
四、導數的幾何意義
函式在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即曲線在點處的切線的斜率是，相應地切線的方程是；
注意：1.在求曲線的切線方程時，要注意區分是曲線上在該點處的切線，還是過該點的切線：
曲線上在該點處的切線只有一條，而過該點的切線不一定只有一條，即使此點在曲線上也不一定只有一條；2.在求過某一點的切線方程時，要首先判斷此點是在曲線上，還是不在曲線上，只有當此點在曲線上時，此點處的切線的斜率才是
例8.曲線在點處的切線方程為
練9.已知直線與拋物線相切，則_______；
練10.拋物線上的點到直線的最短距離為_____；
例11.已知函式，又導函式的圖象與軸交於。
①求的值； ②求過點的曲線的切線方程。
練12.曲線，求（1）曲線在點處的切線方程；（2）曲線過點的切線方程；
提高：若點在曲線上移動，在點處的切線的傾斜角為，則的取值範圍是____；
五、函式的單調性
注意：據題意函式在上為增（減）函式和函式的增（減）區間是，這兩句話的意義不一樣。
例1.求下列函式單調遞增區間。
（1） （2） （3） （4），，
練2.下列函式中,在上為增函式的是
a. b. cd.
練3．函式的減區間為
a. b. c. d.
例4.如果函式在定義域為增函式，則的取值範圍是______；
練5.若在上是減函式，則的取值範圍是
a. bcd.
練6.若函式在區間上是單調函式，則實數的取值範圍為
a.或 b.或 c. d.
例7.設是函式的導數,的圖象如圖所示,則的圖象有可能是
練8.函式的圖象如右圖所示，其中是函式的導函式，函式的圖象大致是
練9.以下四圖，都是同一座標系中三次函式及其導函式的影象，其中一定不正確的序號是
ab.①③ c.③④ d.①④
例10.已知函式，且在處.
（1）求的值；並求函式在點處的切線方程；
（2）求函式的單調區間.
提高：1.已知函式
（1）當時，求的單調區間； （2）若函式在上單調遞增，試求出的取值範圍.
2．已知函式
（1）討論函式的單調性；
（2）若函式在處的切線斜率為，不等式對任意恆成立，求實數的取值範圍；
六、函式極大值、極小值和最大值、最小值
1.求可導函式的極值的步驟:
(1)確定函式的定義區間，求導數； (2)求方程的根；
(3)用函式的導數為0的點，順次將函式的定義區間分成若干小開區間，並列成**.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那麼在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那麼在這個根處無極值；
2.求閉區間上連續的函式的最大值和最小值的思想方法和步驟：
（1）求函式在內的極值； （2）求函式在區間端點的值；
（3）將函式的各極值與比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
注意：1.是極值點的充要條件是這一點兩側導數異號，而不僅是，是為極值點的必要而不充分條件。
2.給出函式極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗「左正右負」(「左負右正」)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！
3.乙個定義域在的函式在端點處一定不是極值。
4.極值是乙個函式的區域性性質。
5.乙個函式在閉區間上一定存在最值。
八、三次函式
1.函式有極值導函式的判別式
2.當時，
①若時，則的增區間為和，減區間為，為極大值，為極小值；
②若時，則的減區間為和，增區間為，為極小值，為極大值．
3.當時，函式無極值。
4.注意當和當時的三次多項式函式的影象走向；四次函式影象的走向呢？
例1.求下列函式在的極值及最值。
（1） （2） （3）
練2.已知若在區間上的最大值為20，求在該區間上的最小值。
例3.函式有極值的充要條件是
a.或 b. c.或 d.
例4.設函式在和處有極值，且，求的單調區間。
練5.函式處有極小值，則____；
練6.設函式的圖象如圖所示，且與在原點相切，若函式的極小值為
（1）求的值； （2）求函式的遞減區間．
練7.設函式在時取得極值．
（1）求的值； （2）若對於任意的，都有成立，求的取值範圍。
例8.在區間的影象如右,則在區間內有極大值點
a.2個 b.3個 c.4個 d.1個
練9.如右圖是函式的導數的圖象，則有
a.唯一極值點b.極大值點，是極小值點
c.極小值點,是極大值點 d.無極值
九、導數的綜合問題
1.函式,則
a. b. c. d.大小關係不能確定
2.對於r上可導的任意函式，若滿足 ，則必有
a. b. c. d.
3.已知是函式的乙個極值點
（1）求實數的值；（2）求函式在的最大值和最小值．
4.已知函式
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若關於的方程有三個不同的實根，求實數的取值範圍.
5.已知函式.
（1）若在上是增函式，求的取值範圍；（2）求在區間上的最大值。
6.已知函式，，當時，函式的圖象在函式的上方，求的取值範圍。
7.已知函式
（1）求函式在上的最大值與最小值。
（2）求證：在區間上，函式的影象在函式的影象的上方。
8.已知函式（為常數），直線與函式的影象都相切，且與函式的影象的切點的橫座標為1；
（1）求直線的方程與的值。
（2）當時，試討論方程的解得個數。
9.已知函式的圖象如圖所示．
（1）求的值；
（2）若函式在處的切線方程為，求函式的解析式；
（3）在（ii）的條件下，函式與的圖象有三個不同的交點，求的取值範圍．
1.下列求導數運算正確的是（ ）
a. b. c. d.
2.設是可導函式，且（ ）a. b.－1 c.0 d.－2
3.函式的單調遞增區間是( ) a. b. c. d.
4.下列說法正確的是（ ）
a.函式在閉區間上的極大值一定比極小值大； b.函式在閉區間上的最大值一定是極大值；
c.對,若,則無極值；d.函式在區間上一定存在最值；
5.曲線在點處的切線平行於直線，則點的座標是（ ）
ab. c.或 d.
6.函式在上的最小值是（ ） a.5 b. c. d.
7.若（為常數）在上有最大值，則值是（ ）
abcd.
8.函式的最大值為（ ） a. b. c. d.
9.設是函式的導數,的圖象如圖所示, 則的圖象有可能是( )
10.定義在閉區間上的連續函式有唯一的極值點,且的極小值為,則下列說法正確的是（ ）
a.函式有最小值 b.函式有最小值,但不一定是
c.函式的最大值也可能是 d.函式不一定有最小值
12設函式，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處切線的斜率為a. b. c. d.
二、填空題
13.函式的最大值是
14.若曲線在點處的切線經過座標原點,則_____；
15.曲線在點處的切線方程為
16.設曲線在點處的切線與軸的交點的橫座標為,令，則 ；
三、解答題
17. 已知在時有極大值6，在時有極小值，求的值；並求在區間上的最大值和最小值。
18. 設函式的圖象與軸的交點為，且曲線在點出處的切線方程為，又函式在出處取得極值，求該函式的單調遞減區間。
21.如圖，一矩形鐵皮的長為，寬為，在四個角上截去四個相同的小正方形，製成乙個無蓋的小盒子，求盒子容積最大時小正方形的邊長。
導數練習題（提高訓練）
一、選擇題
1.函式的乙個單調遞增區間是（ ）
a. b. cd.
2.已知曲線（ ）
ab. cd.
3.已知對任意實數，有，且時，，則時（ ）
ab.cd.
4.若函式在內有極小值，則（ ）
abcd.
5.設函式則函式在( )
a.區間內均有零點b.區間內均無零點
c.區間內有零點，在區間內無零點 d.區間內無零點，在區間內有零點
6.設是函式的導函式，將和的圖象畫在同乙個直角座標系中，不可能正確的是（ ）
11 面試真題講練結合
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4 面試真題講練結合
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17 面試真題講練結合
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