鰲江三中教育共同體
背景與經過：
課程改革以來，我們的數學課堂呈現出許多令人欣喜的變化，原來平淡的課堂變得熱鬧了，活躍了。但在熱鬧活躍的背後，我們發現數學的課堂似乎缺少了什麼。當我們用肢體的活躍代替了思維的活躍，用形式的熱鬧掩蓋了數學的本質；當數學課因為片面追求生活化，活動化而變得華而不實的時候，很多專家和一線的老師意識到：
如今的數學課，「數學味」淡了，形式化的東西多了。顯然，這是不符合新課程改革精神的，也是違背數學教育規律的。如何讓我們的課堂上出「數學味」呢？
這是我們一線老師所要面對的問題。
在2023年12月底，鶴溪中學的青年教師施老師代表鰲江三中教育共同體參加了以「挖掘教材內涵，凸現數學本質」為主題的平陽縣初中數學團隊賽課活動。從施老師的試教到比賽，我幾乎參與了全過程。其間，我親眼目睹了教育共同體的數學老師一趟又一趟不辭辛苦的聽課，一遍又一遍不厭其煩的討論。
這次活動，讓我們每一位參與其中的老師都受益匪淺，在磨課過程中我們不斷挖掘教材內涵，努力使數學本質回歸課堂，從而讓我們的課堂凸顯著濃濃的數學味。下面我就結合參賽的課題浙教版八年級數學（上）第七章《一次函式的簡單應用》第一課時的磨課過程，來談一談我們是如何磨出數學味來。
[第一次磨課時的教學設計]
一、 溫故知新，匯入新課
1、已知ｙ是ｘ的一次函式，則這個函式解析式可表示為這個函式的影象是
學生：y＝kx＋b（其中b為任意常數,k不等於0），它的影象是一條直線。
教師：函式解析式是從數的角度來表示一次函式，函式的影象是從形的角度表示一次函式。
2、已知ｙ是ｘ的一次函式，這個函式圖象經過以下兩點（1,3），（2,5），求這個函式解析式。（學生通過計算口答，教師總結方法與過程）
二、 合作學習，**新知
1、 引語：藍鯨是現存動物中體形最大的一種，體長的最高記錄是３２m.根據生物學家對成熟的雄性鯨的測量，其全長和吻尖到噴水孔的長度之間的關係存在著有趣的現象。
生物學家測得7條成熟雄性鯨的全長y和吻尖到噴水孔的長度x的資料如下表（單位：m）
（1） 能否利用一次函式刻畫這兩個變數x和y的關係？
（2） 如果能，請求出這個一次函式的解析式。
（師生合作完成例題的解答過程）
2、教師小結：確定兩個變數是否構成一次函式關係的一種常用方法就是利用圖象去獲得經驗公式。
這種方法的基本步驟是：（1）通過實驗獲得資料；（2）根據資料畫出函式的圖象；（3）根據圖象判斷函式的型別；（4）用待定係數法求出函式解析式。
三、 實踐應用，回歸生活
1、練習：通過實驗獲得u,v兩個變數的各對應值如下表
判斷變數u,v 是否近似地滿足一次函式關係式，如果是，求v關於u的函式關係式，並利用函式解析式求出當u=2.2時，函式v的值。（學生動手計算後，教師請一位學生口述過程，教師板演）
2、小聰上午8：00從家裡出發，騎車去一家超市購物，然後從這家超市返回家中。小聰離家的路程s（千公尺）和所經過的時間t（分）之間的函式關係如圖所示，請根據圖象回答下列問題：
（1）小聰去超市途中的速度是多少？回家途中的速度是多少？
（2）小聰在超市逗留了多少時間？
（3）用恰當的方式表示小聰離家的路程s（千公尺）和所經過的時間t（分）之間的關係
（4）小聰在來去的途中，離家1km處的時間是幾時幾分？
教師讀題，學生一一口答（此時下課鈴聲已響）……
聽完第一次試教的課後，教育共同體的老師們在評課中都談了自己的觀點，首先肯定了本節課的優點：①設計思路上基本抓住了重點，該突出的知識點也都能體現出來。②問題的設計上思路比較清晰，有自己的特點，能夠結合學生的實際來舉例和加以引導。
③多**課件的應用與教學結合較緊密。同時，各位老師也指出了一些需要共同研討的問題。
我把它歸納為以下幾點：
1、新課的情境設計怎樣設計。
施老師的情境設計是用複習舊知引入。老師們通過討論認為，一次函式的解析式、圖象以及用待定係數法求一次函式的解析式，是本節課所需要具備的知識和技能，但施老師提供的複習只是機械的記憶，內容簡單，不能引起學生的思考和興趣。所以我們提出修改的方案是：
用貼近學生生活的例項或學生感興趣的例項引入，能快速激發學生的思維或學習興趣，這也有利於點明本課的課題就是關於「一次函式的應用」。
2、例題的引入是否利用多****藍鯨的生活錄影。
一位老師在評課中提議，加入藍鯨的生活錄影，能夠增加學生的感官刺激，吸引學生的注意力，而且在形式上課堂顯得熱鬧。我們討論認為，**藍鯨的生活錄影，的確能引發學生的興趣，在形式又似乎教師充分利用多**。但考慮到本堂課的時間很緊湊，而**錄影學生可能僅是對藍鯨的體形、生活習慣感興趣，想激發學生學習數學的積極性作用可能不大。
另外教學情境只是乙個載體，它是為教學內容服務的，必須圍繞本節的學習任務來進行，而本節課的學習任務是「利用圖象取得函式解析式的基本方法和步驟」。因此，我們認為要淡化形式，注重本質，把形式和本質融為一體。不做為了形式而形式，為了情境而情境的事。
3、例題的解決過程是否增加「檢驗」這一環節。
一些老師提出：本節課的教科書例題的解題過程中沒有「檢驗」這一環節，聯想到七年級時學生已經了解了問題解決的四個步驟：「㈠理解問題，㈡制訂計畫，㈢執行計畫，㈣回顧（包括檢驗）」，又聯絡到九年級的「反比例函式的應用」這一課，它也用到了「檢驗」。
於是遵循研究數學的嚴謹性原則，我們應當補充這一環節。
4、例題的資料處理很麻煩，是否需要換資料或乾脆改情境。
一些老師提出：作為老師應該在教學內容上突出核心知識，化繁為簡，盡可能排除干擾學生建構的不利因素，為學生提高解題能力、感悟、理解數學思想方法作好必要的準備。既然本節課的教學目標是「了解建立一次函式模型的一般過程和會綜合運用一次函式的解析式，圖象以及結合方程（組）等數學模型，解決實際問題」，那麼我們不應當在處理資料上麻煩學生，將例1中繁雜的資料簡化處理，這可能會更好的提高教學效果。
但是，在我們激烈的辯證後，達成以下看法：平時，學生所接觸的資料一般都是經過簡化處理的。而在我們現實生活中，通過實驗獲得的資料大多都會類似於例1這樣的資料，利用這些原始的實驗資料才能真正體現「數學**於生活，又服務於生活」。
另外，本課教材用這繁雜的資料意圖，不僅是要向學生提供構造近似函式數學模型的過程，也是讓學生經歷了用近似求值的方法求k，b的值的過程。
5、時間較倉促是否要去掉「解讀分段函式圖象」的練習。
有些老師提出本節沒有提供「解讀分段函式圖象」的範例，既然時間比較緊張，乾脆就去掉「解讀分段函式圖象」的練習。但立刻有老師提出，在實際應用中有時會碰到與「分段函式」有關的問題，所以課本中也增加了「解讀分段函式圖象」的課內練習，要讓學生接觸這類問題，從而獲得一些有益的經驗。
小結：在第一次磨課的過程中，我們團隊各抒己見，在溝通與交流中，我真實的體驗到在這主題式的磨課中，我們有意或無意的討論都會情不自禁的圍繞著我們的主題展開，我們也從中收穫了很多。我們知道教材中的例題都是教材編者經過精心選編確定的，其典型意義不言而喻。
所以我們在挖掘教材內涵時要認真體察，理解編者的真實用意。甚至在有些時候，教師還要挖掘例題中編者可能沒有覺察到的積極因素，追求例題價值的最大化。只有這樣，才能使編者的意圖落實到位，使「課標——教材——教師——學生」的鏈條不至於在教師這個最關鍵的環節上出問題。
我們說，教材是教學工具，是教學資源，我們要會使用教材，就是這個道理。
[第二次磨課的情境引入設計]
引例：鞋子的尺碼和鞋長存在一種換算關係，下表是幾組鞋碼與鞋長的對應值
（1）變數y是關於x的函式嗎？是一次函式關係嗎？
（2）你是怎麼判斷y是關於x的一次函式？
聽完第二次試教後，我們又進行了熱烈的討論。
1、關於情境引入的修改
第一次試講中情境引入後的情形：複習舊知引入後，學生在學習例1時，是在老師強硬的引導下，極個別學生才提出用圖象來判斷函式關係。
第二試講中情境引入後的情形：生活例項引入後，學生在老師的引導下，大概十來位學生提出用圖象來判斷函式關係。
注意到這一情形後，我們覺得這樣的教學設計還是做得不夠好。
我們思考著：為什麼大部分學生不會想到用圖象來判斷函式關係？在我們的反覆研討中，我們把原因確定為以下幾點：
①目前學生所學得函式關係的型別有限，只有一次函式，所以學生不加思考認為這就是一次函式關係，就沒有深入思考**原因的興趣。②第二試講中的情境引入是讓學生從有規律的**中發現函式解析式。所以學生在思考例1時，多數學生的思維習慣還是糾結在**中，嘗試從**中看出函式解析式從而判斷函式關係。
於是，我們對情境引入又進行了第二次的修改。把情境引入改為如下方案：
（1）某航空公司規定旅客可免費託運質量為10千克的行李，超過規定質量的行李需買行李票，超過部分按1.5元/千克計算，求行李票費用y（元）關於行李質量x（千克）的函式解析式＿＿＿＿＿＿＿。
（2）函式影象如下圖所示：
根據影象可判斷出y關於x的函式型別為＿＿＿＿＿＿。
（3）彈簧的長度y(厘公尺)與所掛物體的質量x(克）有以下關係：
根據**中資料的特點，你能判斷彈簧的長度y關於所掛物體的質量x的函式型別為＿＿＿＿＿。
我們修改的用意：引用三個生活例項的練習，從中讓學生主動發現判斷乙個函式是不是一次函式，可以從解析式的特徵、函式圖象的形狀、**的某些特殊規律等多種角度進行判斷，這樣的設計有利於學生對例1問題的聯絡。所以在學生完成溫故知新的引例後，對於例1的提問「能否利用一次函式刻畫這兩個變數x和y的關係？
」學生馬上能自發的思考：能不能從**中看出——能不能把它的解析式表達出來——它的圖象是一條直線嗎。引例的設計完善了學生對判別函式模型角度的認識，這是乙個知識之間的橫向和縱向聯絡，整節課的知識呈螺旋上公升狀態，有利於鞏固學生的核心知識技能，完善認識，加深記憶，提高能力。
2、對於「分段函式圖象」提問方式的討論
施老師在進行「分段函式圖象」的練習活動時，他是馬上把圖象和問題給出，然後在老師完成讀題後要求學生思考所給的問題。我們在討論時，認為還可以把這個練習的提問設計的更實效些。設計的方案如下：
第一步：先出示「小聰上午8：00從家裡出發，騎車去一家超市購物，然後從這家超市返回家中。
小聰離家的路程s（千公尺）和所經過的時間t（分）之間的函式關係如圖所示。（大概過了一分鐘）接著問：大家從這圖象中獲得了哪些資訊？
（這裡要給學生充分的思考和發言時間）
第二步：老師再提問：你會根據這圖象提出什麼數學問題？（這一過程讓學生提問，又讓學生自己解決）
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