對於解集非空的一元二次不等式的求解，我們常用「兩根之間」、「兩根之外」這類簡縮語來說明其結果，同時也表明了它的解法．這是用「等」來解決「不等」的乙個典型例子．從表面上看，「等」和「不等」是對立的，但如果著眼於「等」和「不等」的關係，會發現它們之間相互聯絡的另一面．設ｍ、ｎ是代數式，我們把等式ｍ＝ｎ叫做不等式相應的等式．我們把乙個不等式與其相應的等式對比進行研究，發現「等」是「不等」的「界點」、是不等的特例，稍微深入一步，可以從「等」的解決來發現「不等」的解決思路、方法與技巧．本文通過幾個常見的典型例題揭示「等」對於「不等」在問題解決上的啟示．
1．否定特例，排除錯解
解不等式的實踐告訴我們，不等式的解區間的端點是它的相應等式（方程）的解或者是它的定義區間的端點（這裡我們把＋∞、－∞也看作端點）．因此我們可以通過端點的驗證，否定特例，排除錯解，獲得解決問題的啟示．
例1 滿足ｓｉｎ（ｘ－π／4）≥1／2的ｘ的集合是（）．
ａ．｛ｘ｜2ｋπ＋5π／12≤ｘ≤2ｋπ＋13π／12，ｋ∈ｚ｝
ｂ．｛ｘ｜2ｋπ－π／12≤ｘ≤2ｋπ＋7π／12，ｋ∈ｚ｝
ｃ．｛ｘ｜2ｋπ＋π／6≤ｘ≤2ｋπ＋5π／6，ｋ∈ｚ｝
ｄ．｛ｘ｜2ｋπ≤ｘ≤2ｋπ＋π／6，ｋ∈ｚ｝∪｛2ｋπ＋5π／6≤（2ｋ＋1）π，ｋ∈ｚ｝（2023年三南試題）
分析：當ｘ＝－π／12、ｘ＝π／6、ｘ＝0時，ｓｉｎ（ｘ－π／4）＜0，因此排除ｂ、ｃ、ｄ，故選ａ．
例2 不等式＋｜ｘ｜／ｘ≥0的解集是（）．
ａ．｛ｘ｜－2≤ｘ≤2｝
0或0＜ｘ≤2｝
ｃ．｛ｘ｜－2≤ｘ＜0或0＜ｘ≤2｝
0或0＜ｘ≤｝
分析：由ｘ＝－2不是原不等式的解排除ａ、ｃ，由ｘ＝2是原不等式的乙個解排除ｄ，故選ｂ．
這兩道題若按部就班地解來，例1是易錯題，例2有一定的運算量．上面的解法省時省力，但似有「投機取巧」之嫌．選擇題給出了三誤一正的答案，這是問題情景的一部分．而且是重要的一部分．我們利用「等」與「不等」之間的內在聯絡，把目光投向解區間的端點，化繁為簡，體現了具體問題具體解決的樸素思想，這種「投機取巧」正是抓住了問題的特徵，體現了數學思維的敏捷性和數學地解決問題的機智．在解不等式的解答題中，我們可以用這種方法來探索結果、驗證結果或縮小探索的範圍．
例3 解不等式ｌｏｇａ（1－1／ｘ）＞1．（2023年全國高考試題）
分析：原不等式相應的等式--方程ｌｏｇａ（1－1／ｘ）＝1的解為ｘ＝1／（1－ａ）（ａ≠1是隱含條件）．原不等式的定義域為（1，＋∞）∪（－∞，0）．當ｘ→＋∞或ｘ→－∞時，ｌｏｇａ（1－1／ｘ）→0，故解區間的端點只可能是0、1或1／（1－ａ）．當0＜ａ＜1時，1／（1－ａ）＞1，可猜測解區間是（1，1／（1－ａ））；當ａ＞1時，1／（1－ａ）＜0，可猜測解區間是（1／（1－ａ），0）．當然，猜測的時候要結合定義域考慮．
上面的分析，可以作為解題的探索，也可以作為解題後的回顧與檢驗．如果把原題重做一遍視為檢驗，那麼一則費時，對考試來說無實用價值，對解題實踐來說也失去檢驗所特有的意義；二則重做一遍往往可能重蹈錯誤思路、錯誤運算程式的覆轍，費時而於事無補．因此，抓住端點探索或檢驗不等式的解，是一條實用、有效的解決問題的思路．
2．誘導猜想，發現思路
當我們證明不等式ｍ≥ｎ（或時，可以先考察ｍ＝ｎ的條件，基本不等式都有等號成立的充要條件，而且這些充要條件都是若干個正變數相等，這就使我們的思考有了明確的目標，誘導猜想，從而發現證題思路．這種思想方法對於一些較難的不等式證明更能顯示它的作用．
例4 設ａ、ｂ、ｃ為正數且滿足ａｂｃ＝1，試證：1／ａ3（ｂ＋ｃ）＋1／ｂ3（ｃ＋ａ）＋1／ｃ3（ａ＋ｂ）≥3／2．（第36屆ｉｍｏ第二題）
分析：容易猜想到ａ＝ｂ＝ｃ＝1時，原不等式的等號成立，這時1／ａ3（ｂ＋ｃ）＝1／ｂ3（ｃ＋ａ）＝1／ｃ3（ａ＋ｂ）＝1／2．考慮到「≥」在基本不等式中表現為「和」向「積」的不等式變換，故想到給原不等式左邊的每一項配上乙個因式，這個因式的值當ａ＝ｂ＝ｃ＝1時等於1／2，且能通過不等式變換的運算使原不等式的表示式得到簡化．
1／ａ34ｂｃ≥＝1／ａ，
1／ｂ34ｃａ≥1／ｂ 1／ｃ34ａｂ≥1／ｃ，
將這三個等式相加可得
1／ａ3（ｂ＋ｃ）＋1／ｂ3（ｃ＋ａ）＋1／ｃ3（ａ＋ｂ）≥1／ａ＋1／ｂ＋1／ｃ－（1／41／2）（1／ａ＋1／ｂ＋1／ｃ）≥（3／2）＝3／2，從而原不等式獲證．
這道題看似不難，當年卻使參賽的412名選手中有300人得0分．上述湊等因子的思路源於由等號的成立條件而產生的猜想，使思路變得較為自然，所用的知識是一般高中生所熟知的．再舉二例以說明這種方法有較大的適用範圍．
例5 設ａ，ｂ，ｃ，ｄ是滿足1的正實數，求證：ａ3333／（ａ＋ｂ＋ｃ）≥1／3．（第31屆ｉｍｏ備選題）
證明：ａ39≥（2／3）ａ2，
ｂ39≥（2／3）ｂ2，
ｃ39≥（2／3）ｃ2，
ｄ39≥（2／3）ｄ2．
∴ ａ33332／3）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2）－（2／9
＝（5／9）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2）－（2／91／9）（ａ2＋ｃ2－2ａｃ＋ｂ2＋ｄ2－2ｂｄ）
≥（5／9）（ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2）－（2／95／92／91／31／3．
當ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝1／2時，原不等式左邊的四個項都等於1／12，由此出發湊「等因子」．對於某些中學數學中的常見問題也可用這種方法解決，降低問題解決對知識的要求．
例6 設8，求ｍ＝＋＋＋的最大值．
分析：猜想當ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝2時ｍ取得最大值，這時ｍ中的4個項都等於3．要求ｍ的最大值，需將ｍ向「≤」的方向進行不等變換，由此可得3≤（3＋4ａ＋1）／2＝2ａ＋2，3≤2ｂ＋2，3≤2ｃ＋2，3≤2ｄ＋2．於是3ｍ≤28＝24，∴ｍ≤8．當且僅當ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ時等號成立，所以ｍ的最大值為8．
當然，例6利用平方平均數不小於算術平均數是易於求解的，但需要高中數學教材外的知識．利用較少的知識解決較多的問題，是數學自身的追求，而且從教學上考慮，可以更好地培養學生的數學能力．先有猜想，後有設計，再有證法，也是數學地思考問題的基本特徵．
3．引發矛盾，啟迪探索
在利用基本不等式求最大值或最小值時，都必須考慮等號能否取得，這不僅是解題的規範要求，而且往往對問題的解決提供有益的啟示．特別當解題的過程似乎順理成章，但等號成立的條件卻發生矛盾或並不一定成立．這一新的問題情景將啟迪我們對問題的進一步探索．
例7 設ａ，ｂ∈ｒ＋，2ａ＋ｂ＝1，則2－4ａ2－ｂ2有（）．
ａ．最大值1／4 ｂ．最小值1／4
ｃ．最大值（－1）／2 ｄ．最小值（－1）／2
分析：由4ａ2＋ｂ2≥4ａｂ，得原式≤2－4ａｂ＝－4（）2＋2＝－4（－1／4）2＋1／4≤1／4．若不對不等變換中等號成立的條件進行研究，似已完成解題任務，而且覺得解題過程頗為自然，但若研究一下等號成立的條件，則出現了矛盾：要使4ａ2＋ｂ2≥4ａｂ中的等號成立，則應有2ａ＝ｂ＝1／2，這時＝／4≠1／4，第二個「≤」中的等號不能成立．這一矛盾使我們感覺到解題過程的錯誤，促使我們另闢解題途徑．事實上，原式＝2－（2ａ＋ｂ）2＋4ａｂ＝4ａｂ＋2－1，而由1＝2ａ＋ｂ≥2得0＜≤／4，ａｂ≤1／8，∴原式≤／2＋1／2－1＝（－1）／2，故選 ｃ．等號不一定成立而啟迪我們對問題進一步探索的典型例子是2023年全國高考（理科）第22題：
例8 甲、乙兩地相距ｓ千公尺（ｋｍ），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ｃ千公尺／小時（ｋｍ／ｈ）．已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度ｖ（千公尺／小時）的平方成正比，比例係數為ｂ，固定部分為ａ元．
ⅰ．把全程運輸成本ｙ（元）表示為速度ｖ（千公尺／小時）的函式，並指出這個函式的定義域；
ⅱ．為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大的速度行駛?
分析0，ｃ］，由ｙ≥2ｓ當且僅當ａｓ／ｖ＝ｂｓｖ，即當ｖ＝時等號成立得，當ｖ＝時ｙ有最小值．這是本題的正確答案嗎?那就得考慮ｖ＝是否一定成立．當≤ｃ時可以，但是有可能大於ｃ的．這就引發了我們進行分類討論的動機，同時也獲得分類的標準．
綜上所述，「等」是不等式問題中一道特殊的風景，從「等」中尋找問題解決的思路，本質上是特殊化思想在解題中的應用．從教學上看，引導學生注視不等式問題中的「等」，是教會學生發現問題、提出問題，從而分析問題、解決問題的契機．
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