絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試(安徽卷)
數學（理科）
本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，第i卷第1至第2頁，第ii卷第3至第4頁。全卷滿分150分鐘，考試時間120分鐘。
考生注意事項：
1．答題前，務必在試題卷、答題卡規定的地方填寫自己的姓名、座位號，並認真核對答題卡上所貼上的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。務必在答題卡背面規定的地方填寫姓名和座位號後兩位。
2．答第ⅰ卷時，每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案標號。
3．答第ⅱ卷時，必須使用0.5公釐的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字型工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規定的位置繪出，確認後再用0.
5公釐的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號所指示的答題區域作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效。
4．考試結束，務必將試題卷和答題卡一併上交。
參考公式：
如果事件與互斥，那麼
如果與是兩個任意事件，，那麼
如果事件與相互獨立，那麼
第ⅰ卷（選擇題，共50分）
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、是虛數單位，
a、 b、 c、 d、
【解析】，選b.
【規律總結】為分式形式的複數問題，化簡時通常分子與分母同時乘以分母的共軛複數，然後利用複數的代數運算，結合得結論.
2、若集合，則
a、 b、 c、 d、
5、雙曲線方程為，則它的右焦點座標為
a、 b、 c、 d、
【解析】雙曲線的，，，所以右焦點為.
【誤區警示】本題考查雙曲線的交點，把雙曲線方程先轉化為標準方程，然後利用求出c即可得出交點座標.但因方程不是標準形式，很多學生會誤認為或，從而得出錯誤結論.
6、設，二次函式的圖象可能是
【解析】當時，、同號，（c）（d）兩圖中，故，選項（d）符合.
【方法技巧】根據二次函式影象開口向上或向下，分或兩種情況分類考慮.另外還要注意c值是拋物線與y軸交點的縱座標，還要注意對稱軸的位置或定點座標的位置等.
7、設曲線的引數方程為（為引數），直線的方程為，則曲線上到直線距離為的點的個數為
a、1 b、2 c、3 d、4
【解析】化曲線的引數方程為普通方程：，圓心到直線的距離，直線和圓相交，過圓心和平行的直線和圓的2個交點符合要求，又，在直線的另外一側沒有圓上的點符合要求，所以選b.
【方法總結】解決這類問題首先把曲線的引數方程為普通方程，然後利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關係，這就是曲線上到直線距離為，然後再判斷知，進而得出結論.
8、乙個幾何體的三檢視如圖，該幾何體的表面積為
a、280 b、292 c、360 d、372
【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等於下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。.
【方法技巧】把三檢視轉化為直觀圖是解決問題的關鍵.又三檢視很容易知道是兩個長方體的組合體，畫出直觀圖，得出各個稜的長度.把幾何體的表面積轉化為下面長方體的全面積加上面長方體的4個側面積之和。
9、動點在圓上繞座標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周。已知時間時，點的座標是，則當時，動點的縱座標關於（單位：秒）的函式的單調遞增區間是
a、 b、 c、 d、和
【解析】畫出圖形，設動點a與軸正方向夾角為，則時，每秒鐘旋轉，在上，在上，動點的縱座標關於都是單調遞增的。
【方法技巧】由動點在圓上繞座標原點沿逆時針方向勻速旋轉，可知與三角函式的定義類似，由12秒旋轉一周能求每秒鐘所轉的弧度，畫出單位圓，很容易看出，當t在變化時，點的縱座標關於（單位：秒）的函式的單調性的變化，從而得單調遞增區間.
10、設是任意等比數列，它的前項和，前項和與前項和分別為，則下列等式中恆成立的是
a、 b、
c、 d、
【分析】取等比數列,令得代入驗算，只有選項d滿足。
【方法技巧】對於含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數字代替字母，代入驗證，若能排除3個選項，剩下唯一正確的就一定正確；若不能完全排除，可以取其他數字驗證繼續排除.本題也可以首項、公比即項數n表示代入驗證得結論.
第ⅱ卷（非選擇題，共90分）
13.4
【解析】不等式表示的區域是乙個四邊形，4個頂點是
，易見目標函式在取最大值8，
所以，所以，在時是等號成立。所以的最小值為4.
【規律總結】線性規劃問題首先作出可行域，若為封閉區域（即幾條直線圍成的區域）則區域端點的值是目標函式取得最大或最小值，求出直線交點座標代入得，要想求的最小值，顯然要利用基本不等式.
14、如圖所示，程式框圖（演算法流程圖）的輸出值________。
14.12
【解析】程式執行如下:,輸出12。
【規律總結】這類問題，通常由開始一步一步執行，根據判斷條件，要麼幾步後就會輸出結果，要麼就會出現規律，如週期性，等差或等比數列型.
15、甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球。先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是________（寫出所有正確結論的編號）。
事件與事件相互獨立；
④是兩兩互斥的事件；
⑤的值不能確定，因為它與中哪乙個發生有關
15.②④
【解析】易見是兩兩互斥的事件，而
。【方法總結】本題是概率的綜合問題，掌握基本概念，及條件概率的基本運算是解決問題的關鍵.本題在是兩兩互斥的事件，把事件b的概率進行轉化，可知事件b的概率是確定的.
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。解答寫在答題卡上的指定區域內。
16、（本小題滿分12分）
設是銳角三角形，分別是內角所對邊長，並且
。 (ⅰ)求角的值；
(ⅱ)若，求（其中）。
17、（本小題滿分12分）
設為實數，函式。
(ⅰ)求的單調區間與極值；
(ⅱ)求證：當且時，。
18、（本小題滿分12分）
如圖，在多面體中，四邊形是正方形，∥，，，，，為的中點。
(ⅰ)求證：∥平面；
(ⅱ)求證：平面；
(ⅲ)求二面角的大小。
19、（本小題滿分13分）
已知橢圓經過點，對稱軸為座標軸，焦點
在軸上，離心率。
(ⅰ)求橢圓的方程；
(ⅱ)求的角平分線所在直線的方程；
(ⅲ)在橢圓上是否存在關於直線對稱的相異兩點？
若存在，請找出；若不存在，說明理由。
20、（本小題滿分12分）
設數列中的每一項都不為0。
證明：為等差數列的充分必要條件是：對任何，都有
。21、（本小題滿分13分）
品酒師需定期接受酒味鑑別功能測試，一種通常採用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嚐，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之後，再讓其品嚐這瓶酒，並重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試。根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評為。
現設，分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，並令
，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述。
(ⅰ)寫出的可能值集合；
(ⅱ)假設等可能地為1,2,3,4的各種排列，求的分布列；
(ⅲ)某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有，
(i)試按(ⅱ)中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；
(ii)你認為該品酒師的酒味鑑別功能如何？說明理由。
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