2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
第一卷一． 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）已知集合；,則中所含元素的個數為（ ）
（2）將名教師，名學生分成個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由名教師和名學生組成，不同的安排方案共有（ ）
種種種種
（3）下面是關於複數的四個命題：其中的真命題為（ ）
的共軛複數為的虛部為
（4）設是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（ ）
（5）已知為等比數列，，，則（ ）
（6）如果執行右邊的程式框圖，輸入正整數和實數，輸出，則（ ）
為的和為的算術平均數
和分別是中最大
的數和最小的數
和分別是中最
小的數和最大的數
（7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三檢視，則此幾何體的體積為（ ）
（8）等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交於
兩點，；則的實軸長為（ ）
（9）已知，函式在上單調遞減。則的取值範圍是（ ）
（10） 已知函式；則的影象大致為（ ）
（11）已知三稜錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，
為球的直徑，且；則此稜錐的體積為（ ）
（12）設點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（ ）
第ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-第24題為選考題，考生根據要求做答。
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。
（13）已知向量夾角為 ，且；則
(14) 設滿足約束條件：；則的取值範圍為
（15）某個部件由三個元件按下圖方式連線而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從
正態分佈，且各個元件能否正常相互獨立，那麼該部件的使用壽命
超過1000小時的概率為
（16）數列滿足，則的前項和為
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
已知分別為三個內角的對邊，
（1）求 （2）若，的面積為；求。
18.（本小題滿分12分）
某花店每天以每枝元的**從農場購進若干枝玫瑰花，然後以每枝元的****，
如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。
（1）若花店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關於當天需求量
（單位：枝，）的函式解析式。
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。
（i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列，
數學期望及方差；
（ii）若花店計畫一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？
請說明理由。
（19）（本小題滿分12分）
如圖，直三稜柱中，，
是稜的中點，
（1）證明：
（2）求二面角的大小。[**:z*xx*
（20）（本小題滿分12分）
設拋物線的焦點為，準線為，，已知以為圓心，
為半徑的圓交於兩點；
（1）若，的面積為；求的值及圓的方程；
（2）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有乙個公共點，
求座標原點到距離的比值。
（21）（本小題滿分12分）
已知函式滿足滿足；
（1）求的解析式及單調區間；
（2）若，求的最大值。
請考生在第22,23,24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分，
做答時請寫清題號。
（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，分別為邊的中點，直線交
的外接圓於兩點，若，證明：
（1）；
（2）（23）本小題滿分10分)選修4—4；座標系與引數方程
已知曲線的引數方程是，以座標原點為極點，軸的正半軸
為極軸建立座標系，曲線的座標系方程是，正方形的頂點都在上，
且依逆時針次序排列，點的極座標為
（1）求點的直角座標；
（2）設為上任意一點，求的取值範圍。
（24）（本小題滿分10分）選修：不等式選講
已知函式
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值範圍。
*********及解析
一．選擇題：1--6，,7--1213. ,14. 1，15.，16.1830
17.（1）由正弦定理得：
（2） 解得：
18.（1）當時，當時，
得： （2）（i）可取，，
的分布列為
（ii）購進17枝時，當天的利潤為
，得應購進17枝
19.（1）在中，得：同理：[**:學科網]
得：面 （2）面
取的中點，過點作於點，連線
，麵麵面
得：點與點重合，且是二面角的平面角
設，則，
既二面角的大小為
20.（1）由對稱性知：是等腰直角，斜邊
點到準線的距離
圓的方程為
（2）由對稱性設，則
點關於點對稱得：
得：，直線
切點直線座標原點到距離的比值為。
21.（1）
令得：得：
在上單調遞增
得：的解析式為
且單調遞增區間為，單調遞減區間為
（2）得
①當時，在上單調遞增
時，與矛盾
②當時，
得：當時，
令；則當時，當時，的最大值為
22.（1），
（2）23.（1）點的極座標為點的直角座標為
（2）設；則
24.（1）當時，或或或
（2）原命題在上恆成立在上恆成立
在上恆成立
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