4．[2019·銀川模擬]已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，則下列結論一定正確的是( )
a．m⊥n b．m∥n
c．m與n相交 d．m與n異面
答案：a
解析：若β⊥α，m⊥α，則直線m與平面β的位置關係有兩種：mβ或m∥β.
當mβ時，又n⊥β，所以m⊥n；當m∥β時，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，選a.
5．[2019·山西臨汾模擬]已知平面α及直線a，b，下列說法正確的是( )
a．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行
b．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線不可能垂直
c．若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面α平行
d．若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面α不可能都垂直
答案：d
解析：若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線不一定平行；若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線可能垂直；若直線a，b平行，這兩條直線可能都和平面α相交(不平行)；若直線a，b垂直，則直線a，b不平行，而這兩條直線與平面α都垂直等價於直線a，b平行，因此若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面α不可能都垂直．故選d.
6．設l，m，n表示三條不同的直線，α，β，γ表示三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若l⊥α，m⊥α，則l∥m；
②若mβ，n是l在平面β內的射影，l⊥m，則n⊥m；
③若mα，n∥m，則n∥α；
④若γ⊥α，γ⊥β，則α∥β.
其中真命題為( )
a．①② b．①②③
c．②③④ d．①③④
答案：a
解析：由直線與平面垂直的性質定理可得，垂直於同乙個平面的兩條直線相互平行，所以①為真命題；易得②為真命題；根據直線與平面平行的判定定理，平面外一條直線與平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行，③中缺少條件nα，所以得到的結論可能為n∥α，也可能為nα，所以③為假命題；若α⊥γ，β⊥γ，則得到的結論可能為β∥α，也可能為β，α相交，所以④為假命題．
7．[2019·成都市高中畢業班診斷性檢測]已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題正確的是( )
a．若mα，則m⊥β b．若mα，nβ，則m⊥n
c．若mα，m⊥β，則m∥α d．若α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α
答案：c
解析：選項a中，若mα，則直線m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故選項a不正確；選項b中，直線m與直線n的關係不確定，可能平行，也可能相交或異面，故選項b不正確；選項c中，若m⊥β，則m∥α或mα，又mα，故m∥α，選項c正確；選項d中，缺少條件nβ，故選項d不正確，故選c.
8．[2019·寧夏銀川一中模擬]已知p是△abc所在平面外的一點，m，n分別是ab，pc的中點，若mn＝bc＝4，pa＝4[', 'altimg': '', 'w': '33', 'h':
'29', 'eqmath': ' \\r(3)'}]，則異面直線pa與mn所成角的大小是( )
a．30° b．45°
c．60° d．90°
答案：a
解析：如圖．
取ac中點d，連線dn，dm，
由已知條件可得dn＝2[', 'altimg': '', 'w': '33', 'h': '29', 'eqmath': ' \\r(3)'}]，dm＝2.
在△mnd中，∠dnm為異面直線pa與mn所成的角，
則cos∠dnm＝[}', 'altimg': '', 'w': '99', 'h':
'54', 'eqmath': ' \\f(16＋12－4,2×4×2\\r(3))'}]＝[}', 'altimg': '', 'w':
'35', 'h': '52', 'eqmath': ' \\f(\\r(3),2)'}]，
∴∠dnm＝30°.
二、非選擇題
9．[2019·湖南聯考]已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，給出下列命題：
①若α∥β，則m⊥l；
②若α⊥β，則m∥l；
③若m⊥l，則α⊥β；
④若m∥l，則α⊥β.
其中正確的命題是________．
答案：①④
解析：對於①，若α∥β，m⊥α，lβ，則m⊥l，故①正確；對於②，若α⊥β，則m∥l或m⊥l或m與l異面，故②錯誤；對於③，若m⊥l，則α⊥β或α與β相交，故③錯誤；對於④，若m∥l，m⊥α，則l⊥α，又lβ，所以α⊥β，故④正確．
10．[2019·陝西西安模擬]如圖，在正方體abcd－a1b1c1d1中，m，n分別為稜c1d1，c1c的中點，有以下四個結論：
①直線am與cc1是相交直線；
②直線am與bn是平行直線；
③直線bn與mb1是異面直線；
④直線am與dd1是異面直線．
其中正確的結論為________．
答案：③④
解析：a，m，c1三點共面，且在平面ad1c1b中，但c平面ad1c1b，c1am，因此直線am與cc1是異面直線，同理，am與bn也是異面直線，am與dd1也是異面直線，①②錯，④正確；m，b，b1三點共面，且在平面mbb1中，但n平面mbb1，bmb1，因此直線bn與mb1是異面直線，③正確．
11．如圖所示，在三稜錐c－abd中，e，f分別是ac和bd的中點．若cd＝2ab＝4，ef⊥ab，則ef與cd所成的角是
答案：30°
解析：如圖，取cb的中點g，連線eg，fg.則eg∥ab，fg∥cd，∴ef與cd所成的角為∠efg.
又∵ef⊥ab，
∴ef⊥eg.
在rt△efg中，eg＝[', 'altimg': '', 'w': '22', 'h':
'43', 'eqmath': ' \\f(1,2)'}]ab＝1，fg＝[', 'altimg': '', 'w':
'22', 'h': '43', 'eqmath': ' \\f(1,2)'}]cd＝2，
∴sin∠efg＝[', 'altimg': '', 'w': '22', 'h': '43', 'eqmath': ' \\f(1,2)'}]，∴∠efg＝30°，
∴ef與cd所成的角為30°.
12．[2019·日照模擬]如圖所示，abcd－a1b1c1d1是長方體，o是b1d1的中點，直線a1c交平面ab1d1於點m，給出下列結論：
①a、m、o三點共線；②a、m、o、a1不共面；③a、m、c、o共面；④b、b1、o、m共面．
其中正確結論的序號為________．
答案：①③
解析：連線a1c1、ac，則a1c1∥ac，∴a1、c1、c、a四點共面，∴a1c平面acc1a1.∵m∈a1c，∴m∈平面acc1a1，又m∈平面ab1d1，∴m在平面acc1a1與平面ab1d1的交線上，同理o、a在平面acc1a1與平面ab1d1的交線上，∴a、m、o三點共線，故①正確．由①易知②錯誤，③正確．易知om與bb1為異面直線，故④錯誤．
刷題課時增分練[\\mkern-13mu}', 'altimg': '', 'w': '33', 'h':
'45', 'eqmath': ' \\o(○,\\s\\up1(27綜合提能力課時練贏高分
一、選擇題
1．經過兩條異面直線a，b外的一點p作與a，b都平行的平面，則這樣的平面( )
a．有且僅有乙個 b．恰有兩個
c．至多有乙個 d．至少有乙個
答案：c
解析：(1)當點p所在位置使得a，p(或b，p)確定的平面平行b(或a)時，過點p作不出與a，b都平行的平面；(2)當點p所在位置使得a，p(或b，p)確定的平面與b(或a)不平行時，可過點p作a′∥a，b′∥b.因為a，b為異面直線，所以a′，b′不重合且相交於點p.
因為a′∩b′＝p，a′，b′確定的平面與a，b都平行，所以可作出乙個平面與a，b都平行．綜上，選c.
2．如圖所示，在正方體abcd－a1b1c1d1中，e，f分別為bc，bb1的中點，則下列直線中與直線ef相交的是( )
a．直線aa1 b．直線a1b1
c．直線a1d1 d．直線b1c1
答案：d
解析：只有直線b1c1與直線ef在同一平面內，且兩者是相交的，直線aa1，a1b1，a1d1與直線ef都是異面直線．
3．將下面的平面圖形(圖中每個點是正三角形的頂點或邊的中點)沿虛線折成乙個正四面體後，直線mn與pq是異面直線的是( )
a．①② b．②④
c．①④ d．①③
答案：c
解析：圖②翻摺後n與q重合，兩直線相交；圖③翻摺後兩直線平行，因此選c.
4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列命題：
①若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；
②若m∥α，α⊥β，則m⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；
④若m∥α，m⊥β，則α⊥β.
其中正確命題的序號是( )
a．①④ b．②③
c．②④ d．③④
答案：d
解析：①α與β可能相交，m，n都與α，β的交線平行即可，故該命題錯誤；②當α⊥β，m∥α時，mβ也可能成立，故該命題錯誤；③當m⊥α，m⊥n時，nα或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故該命題正確；④顯然該命題正確．綜上，選d.
5．[2019·衡陽模擬]若直線l與平面α相交，則( )
a．平面α內存在直線與l異面
b．平面α內存在唯一一條直線與l平行
c．平面α內存在唯一一條直線與l垂直
d．平面α內的直線與l都相交
答案：a
解析：當直線l與平面α相交時，這條直線與該平面內任意一條不過交點的直線均為異面直線，故a正確；該平面內不存在與直線l平行的直線，故b錯誤；該平面內有無數條直線與直線l垂直，所以c錯誤，平面α內的直線與l可能異面，故d錯誤，故選a.
6．[2019·湖南常德模擬]乙個正方體的展開圖如圖所示，a，b，c，d為原正方體的頂點，則在原來的正方體中( )
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