難點題型拔高練(四)
1．已知函式f(x)＝－1－nln x(m>0,0≤n≤e)在區間[1，e]內有唯一零點，則的取值範圍為( )
a. b.
c. d．
解析：選a f′(x)＝－－＝－，當n＝0時，f′(x)＝－＜0，當0＜n≤e時，令f′(x)＝0，則x＝－＜0，所以函式f(x)在[1，e]上單調遞減，由函式f(x)在區間[1，e]內有唯一零點，
得即即或即又m＞0,0≤n≤e，
所以(1)或(2)
所以m，n滿足的可行域如圖(1)或圖(2)中的陰影部分所示，則＝表示點(m，n)與點(－1，－2)所在直線的斜率，
當m，n滿足不等式組(1)時，的最大值在點(1，e)處取得，為＝＋1，
當m，n滿足不等式組(2)時，的最小值在a點處取得，根據得所以最小值為，故選a.
2．已知p為雙曲線c：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一點，經過點p的直線與雙曲線c的兩條漸近線分別相交於a，b兩點．若點a，b分別位於第
一、四象限，o為座標原點，當＝時，△aob的面積為2b，則雙曲線c的實軸長為( )
a. b.
c. d.
解析：選a 設a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)，
由＝，得(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)，
則x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，
所以－＝1.
易知點a在直線y＝x上，點b在直線y＝－x上，
則y1＝x1，y2＝－x2，
所以－＝1，
即b22－a22＝a2b2，
化簡可得a2＝x1x2.
由漸近線的對稱性可得sin∠aob＝sin 2∠aox＝＝＝＝，
所以△aob的面積為|oa||ob|sin∠aob＝××sin∠aob
＝××＝x1x2××
＝a2××
＝a2××＝ab＝2b，
得a＝，所以雙曲線c的實軸長為.
3．已知數列共16項，且a1＝1，a8＝4.記關於x的函式fn(x)＝x3－anx2＋(a－1)x，n∈n*.若x＝an＋1(1≤n≤15)是函式fn(x)的極值點，且曲線y＝f8(x)在點(a16，f8(a16))處的切線的斜率為15，則滿足條件的數列的個數為________．
解析：fn′(x)＝x2－2anx＋a－1＝[x－(an＋1)][x－(an－1)]，令fn′(x)＝0，得x＝an＋1或x＝an－1，所以an＋1＝an＋1或an－1＝an＋1(1≤n≤15)，所以|an＋1－an|＝1(1≤n≤15)，又f8′(x)＝x2－8x＋15，所以a－8a16＋15＝15，解得a16＝0或a16＝8，
當a16＝0時，a8－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝3，
得ai＋1－ai(1≤i≤7，i∈n*)的值有2個為－1,5個為1；
由a16－a8＝(a9－a8)＋(a10－a9)＋…＋(a16－a15)＝－4，
得ai＋1－ai(8≤i≤15，i∈n*)的值有6個為－1,2個為1.
所以此時數列的個數為cc＝588，
同理可得當a16＝8時，數列的個數為cc＝588.
綜上，數列的個數為2cc＝1 176.
答案： 1 176
4．已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1，f2，左頂點為a，離心率為，點b是橢圓上的動點，△abf1面積的最大值為.
(1)求橢圓c的方程；
(2)設經過點f1的直線l與橢圓c相交於不同的兩點m，n，線段mn的中垂線為l′.若直線l′與直線l相交於點p，與直線x＝2相交於點q，求的最小值．
解：(1)由已知得e＝＝，即a2＝2c2.
∵a2＝b2＋c2，∴b＝c.
設b點的縱座標為y0(y0≠0)，
則s△abf1＝(a－c)·|y0|≤(a－c)b＝，
即(b－b)b＝－1，∴b＝1，a＝.
∴橢圓c的方程為＋y2＝1.
(2)由(1)可知f1(－1,0)，
由題意知直線l的斜率不為0，故設直線l：x＝my－1，
設m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(xp，yp)，q(2，yq)．
聯立，得消去x，
得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
此時δ＝8(m2＋1)＞0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
由弦長公式，得|mn|＝|y1－y2|
＝＝2·.
又yp＝＝，∴xp＝myp－1＝，
∴|pq|＝|xp－2|＝·，
∴＝＝·＝（＋）≥2，
當且僅當＝，即m＝±1時等號成立，
∴當m＝±1，即直線l的斜率為±1時，取得最小值2.
5．已知函式f(x)＝xln x＋ax＋1，a∈r.
(1)當x＞0時，若關於x的不等式f(x)≥0恆成立，求a的取值範圍；
(2)當n∈n*時，證明：＜(ln 2)2＋2＋…＋2＜.
解：(1)由f(x)≥0，得xln x＋ax＋1≥0(x＞0)，
即－a≤ln x＋恆成立，即－a≤min.
令f(x)＝ln x＋(x＞0)，則f′(x)＝－＝，
∴函式f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，
∴函式f(x)＝ln x＋的最小值為f(1)＝1，
∴－a≤1，即a≥－1，
∴a的取值範圍是[－1，＋∞)．
(2)證明：∵為數列的前n項和，為數列的前n項和，
∴只需證明＜2＜即可．
由(1)知，當a＝－1時，xln x－x＋1≥0，即ln x≥1－，
令x＝＞1，得ln >1－＝，
∴2＞2＞.
現證明2＜，
即2ln＜＝＝－.(*)
現證明2ln x＜x－(x＞1)，
建構函式g(x)＝x－－2ln x(x＞1)，
則g′(x)＝1＋－＝＞0，
∴函式g(x)在(1，＋∞)上是增函式，
即g(x)＞g(1)＝0，
即2ln x＜x－成立．
令x＝，則(*)式成立．
綜上，得＜2＜.
對數列，，分別求前n項和，得＜(ln 2)2＋2＋…＋2＜.
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