題型一三角函式的圖象
例1 (2013·四川)函式f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－ <φ<)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是( )
a．2b．2，－
c．4d．4，
破題切入點考查「五點作圖法」的逆用，由圖象求解析式，先看週期，再看什麼時候取得最值以及函式零點等．
答案 a
解析 t＝－，t＝π，∴ω＝2，
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈z，
∴φ＝2kπ－，k∈z.
又φ∈，
∴φ＝－，選a.
題型二三角函式的簡單性質
例2 (2013·山東)設函式f(x)＝－sin2ωx－sin ωx·cos ωx(ω>0)，且y＝f(x)圖象的乙個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)在區間上的最大值和最小值．
破題切入點 (1)先根據倍角公式以及兩角和與差的三角函式公式將f(x)的解析式化簡為「一角一函式名」的形式，然後根據「y＝f(x)的圖象的乙個對稱中心到最近的對稱軸的距離為」確定該函式的週期，代入週期公式即可求出ω的值；
(2)先根據(1)確定函式解析式，然後利用給定區間確定f(x)的區間，根據該函式在區間上的圖象即可確定所求函式的最值．
解 (1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝－×－sin 2ωx
＝cos 2ωx－sin 2ωx
＝－sin.
依題意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin.
當π≤x≤時，≤2x－≤.
所以－≤sin≤1.
所以－1≤f(x)≤.
故f(x)在區間上的最大值和最小值分別為，－1.
題型三三角函式圖象的變換
例3 已知函式f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω>0，且函式f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等於.若函式f(x)的圖象向左平移m個單位所對應的函式是偶函式，則最小正實數m
破題切入點由相鄰兩對稱軸間距離得出週期進而求出ω，再由平移後為偶函式得出m的最小值．
答案 解析依題意，可得＝，
又t＝，故ω＝3，
所以f(x)＝sin(3x＋)．
函式f(x)的圖象向左平移m個單位後所對應的函式為
g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．
g(x)是偶函式當且僅當3m＋＝kπ＋(k∈z)，
即m＝＋(k∈z)，
從而最小正實數m＝.
總結提高 (1)利用三角函式圖象確定解析式的基本步驟：①最值定a：即根據給定函式圖象確定函式的最值即可確定a的值．②週期定ω：
即根據給定函式圖象的特徵確定函式的週期，利用週期計算公式t＝求解ω.③最值點定φ：即根據函式圖象上的最高點或最低點的座標，代入函式解析式求解φ的取值，注意利用中心點求解φ時，要驗證該點所在的單調區間以確定φ，否則會產生增解．
(2)三角函式的簡單性質主要包括：定義域、值域、對稱性、奇偶性、週期性和單調性，對稱性注意各三角函式的對稱中心和對稱軸，求解奇偶性時首先應利用誘導公式將函式化成最簡再去研究，週期性的求解注意公式中應為|ω|而不是ω，單調性要將x的係數化成正的．本部分題目注意要將ωx＋φ當作乙個整體．
(3)對於三角函式圖象變換問題，平移變換規則是「左加右減上加下減」並且在變換過程中只變換其中的自變數x，要把這個係數提取後再確定變換的單位和方向，當兩個函式的名稱不同時，首先要將函式名稱統一，其次把ωx＋φ寫成ω(x＋)最後確定平移的單位和方向．伸縮變換時注意敘述為「變為原來的」這個字眼，變換的倍數要根據橫向和縱向，要加以區分．
1．已知函式y＝asin(ωx＋φ)＋k的最大值為4，最小值為0，最小正週期為，直線x＝是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為( )
a．y＝4sin(4x＋)
b．y＝2sin(2x＋)＋2
c．y＝2sin(4x＋)＋2
d．y＝2sin(4x＋)＋2
答案 d
解析由題意得解得
又函式y＝asin(ωx＋φ)＋k的最小正週期為，
所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.
又直線x＝是函式圖象的一條對稱軸，
所以4 ×＋φ＝kπ＋(k∈z)，
所以φ＝kπ－(k∈z)，
故可得y＝2sin(4x＋)＋2符合條件，所以選d.
2．已知函式f(x)＝sin2ωx＋sin ωx·cos ωx，x∈r，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值為，則正數ω的值為( )
a. b. c. d.
答案 b
解析 f(x)＝＋sin 2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx＋
＝sin(2ωx－)＋，
又由f(α)＝－，f(β)＝，
且|α－β|的最小值為可知t＝3π，於是ω＝.
3.函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(其中a>0，|φ|<)的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝sin 3x的圖象，則只要將f(x)的圖象( )
a．向右平移個單位長度
b．向右平移個單位長度
c．向左平移個單位長度
d．向左平移個單位長度
答案 b
解析由題意，得函式f(x)的週期t＝4＝，ω＝3，所以sin＝－1，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin＝sin，所以將函式f(x)的圖象向右平移個單位長度可以得到函式g(x)＝sin 3x的圖象．
4.已知函式f(x)＝atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則f()等於( )
ab．－1c. d．1
答案 c
解析由圖象知，t＝＝2(－)＝，ω＝2.
由2×＋φ＝kπ，k∈z，得φ＝kπ－，k∈z.
又由atan(2×0＋)＝1，
知a＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，
∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝.
5．(2014·遼寧)將函式y＝3sin(2x＋)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函式( )
a．在區間[，]上單調遞減
b．在區間[，]上單調遞增
c．在區間[－，]上單調遞減
d．在區間[－，]上單調遞增
答案 b
解析 y＝3sin(2x＋)的圖象向右平移個單位長度得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－π)．
令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈z，則y＝3sin(2x－π)的增區間為[kπ＋，kπ＋π]，k∈z.
令k＝0得其中乙個增區間為[，π]，故b正確．
畫出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的簡圖，如圖，可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有單調性，故c，d錯誤．
6．將函式f(x)＝－4sin的圖象向右平移φ個單位，再將圖象上每一點的橫座標縮短到原來的倍，所得圖象關於直線x＝對稱，則φ的最小正值為( )
a. b.π
c.π d.
答案 b
解析依題意可得y＝f(x)
y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)]
y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]，
因為所得圖象關於直線x＝對稱，
所以g＝±4，
得φ＝π＋π(k∈z)，故選b.
7．已知函式f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同．若x∈[0，]，則f(x)的取值範圍是________．
答案 [－，3]
解析 ∵f(x)和g(x)的對稱軸完全相同，
∴二者的週期相同，即ω＝2，
f(x)＝3sin(2x－)．
∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]，
sin(2x－)∈[－，1]，
∴f(x)∈[－，3]．
8．(2014·北京)設函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(a，ω，φ是常數，a>0，ω>0)．若f(x)在區間上具有單調性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正週期為________．
答案 π
解析 ∵f(x)在上具有單調性，
∴≥－，
∴t≥.
∵f＝f，
∴f(x)的一條對稱軸為x＝＝.
又∵f＝－f，
∴f(x)的乙個對稱中心的橫座標為＝.
∴t＝－＝，∴t＝π.
9．函式f(x)＝sin (x∈r)的圖象為c，以下結論正確的是寫出所有正確結論的編號)
①圖象c關於直線x＝對稱；
②圖象c關於點對稱；
③函式f(x)在區間內是增函式；
④由y＝sin 2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象c.
答案 ①②③
解析當x＝時，f＝sin＝sin＝sin＝－1，為最小值，所以圖象c關於直線x＝對稱，所以①正確；當x＝時，f＝sin＝sin π＝0，圖象c關於點對稱，所以②正確；當－≤x≤時，－≤2x－≤，此時函式單調遞增，所以③正確；y＝sin 2x的圖象向右平移個單位長度，得到y＝sin 2＝sin，所以④錯誤，所以正確的是①②③.
10．已知函式f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)，直線x＝x1，x＝x2是y＝f(x)圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為.
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