第一部分：集合、常用邏輯用語、推理證明（6）
(限時：時間45分鐘，滿分100分)
一、選擇題
1．下列語句：
①2＋是有理數；②求方程x2＋2x－3＝0的解；③2100是個大數；④肺炎是怎樣傳播的？⑤並非所有的人都喜歡蘋果．
其中是命題的是( )
ab．①③④
cd．①⑤
【解析】 ①、⑤是命題；②是祈使句不是命題；③無法判斷其真假；④疑問句不是命題．
【答案】 d
2．(2023年廈門模擬)「x＞3」是「x2＞4」的( )
a．必要不充分條件 b．充分不必要條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
【解析】 ①∵x＞3，x2＞9，∴x2＞4成立．
②當x2＞4時得x＜－2或x＞2，
∴x＞3不一定成立，
故x＞3是x2>4的充分不必要條件．
【答案】 b
3．(2023年山東青島)設a、b都是非零向量，那麼命題「a與b共線」是命題「|a＋b|＝|a|＋|b|」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件d．既不充分又不必要條件
【解析】 |a＋b|＝|a|＋|b|a、b同向a與b共線；反之，當a與b共線時，不一定有|a＋b|＝|a|＋|b|，故a與b共線是|a＋b|＝|a|＋|b|的必要不充分條件，故選b.
【答案】 b
4．(2023年遼師大附中)設abc≠0，「ac＞0」是「曲線ax2＋by2＝c為橢圓」的( )
a．充分非必要條件 b．必要非充分條件
c．充分必要條件 d．既非充分又非必要條件
【解析】 若曲線ax2＋by2＝c為橢圓，則一定有abc≠0，ac＞0；反之，當abc≠0，ac＞0時，可能有a＝b，方程表示圓，故「abc≠0，ac＞0」是「曲線ax2＋by2＝c為橢圓」的必要非充分條件．
【答案】 b
5．(2023年邵武模擬)已知命題p：＞0；命題q：有意義，則p是q的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件 d．不充分不必要條件
【解析】 p：＞0x＞0，p：x≤0.
q：有意義x≥0，
q：x＜0，∴p/ q，但qp，
∴p是q的必要不充分條件．
【答案】 b
二、填空題
6．設a、b為兩個集合，下列四個命題：
①ab對任意x∈a，有x∈b；
②aba∩b＝；
③abab；
④ab任意x∈a，使得x∈b，
其中真命題的序號是________．
【解析】 ①錯誤．對②ab但a、b可能有公共元素，故②錯．對③a不是b的子集，但可能b是a的子集．
對④由ab得，a中的元素均在b中，故④正確．
【答案】 ④
7．給定下列命題：①「若b2－4ac＞0，則二次方程ax2＋bx＋c＝0有實根」的逆否命題；②「四邊相等的四邊形是正方形」的逆命題；③「若x2＝9，則x＝3」的否命題；④「對頂角相等」的逆命題，其中真命題是________．
【解析】 只有④不是真命題，因為原命題正確，其逆命題不一定正確，同時若兩角相等，它們的關係有很多種如同位角．
【答案】 ①②③
8．直線ax＋2y＋3a＝0和直線3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合的充要條件為________．
【解析】 當a＝0或a＝1時，都不滿足條件，
當a≠0且a≠1時，兩直線平行，
則－＝－，
即a2－a－6＝0，
解得a＝3或a＝－2，
經驗證a＝3時兩直線平行且不重合，a＝－2時兩直線重合．反之，也成立．
【答案】 a＝3
三、解答題
9．寫出下列命題的否命題及命題的否定形式，並判斷其真假：
(1)若m＞0，則關於x的方程x2＋x－m＝0有實數根；
(2)若x、y都是奇數，則x＋y是奇數；
(3)若abc＝0，則a、b、c中至少有乙個為0；
(4)若x2－x－2≠0，則x≠－1，且x≠2.
【解析】 (1)否命題：若m≤0，則關於x的方程x2＋x－m＝0無實數根，是假命題；
命題的否定：若m＞0，則關於x的方程x2＋x－m＝0無實數根，是假命題．
(2)否命題：若x、y不都是奇數，則x＋y不是奇數，是假命題；
命題的否定：若x、y都是奇數，則x＋y不是奇數，是真命題．
(3)否命題：若abc≠0，則a、b、c全不為0，是真命題；
命題的否定：若abc＝0，則a、b、c全不為0，是假命題．
(4)否命題：若x2－x－2＝0，則x＝－1或x＝2，是真命題；
命題的否定：若x2－x－2≠0，則x＝－1或x＝2，是假命題．
10．設p：實數x滿足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足
.(1)若a＝1，且p∧q為真，求實數x的取值範圍；
(2)若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值範圍．
【解析】 (1)由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.
又a＞0，所以a＜x＜3a，
當a＝1時，1＜x＜3，
即p為真時實數x的取值範圍是1＜x＜3.
由，得2＜x≤3，
即q為真時實數x的取值範圍是2＜x≤3.
若p∧q為真，則p真且q真，
所以實數x的取值範圍是2＜x＜3.
(2)p是q的充分不必要條件，
即pq，且q/ p，
設a＝，b＝，則ab.
又a＝＝，
b＝＝，
則0＜a≤2，且3a＞3，
所以實數a的取值範圍是1＜a≤2.
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