作者：何正權
**：《中學數學雜誌(初中版)》2023年第01期
若用直接證法證明命題「兩內角平分線相等的三角形是等腰三角形」, 在很多資料上表明問題已被用不同方法得到完全解決,但證題過程較為複雜,尋找簡捷的證明方法有待於進一步探索,在間接證法中最多見的是反證法,讀者在閱讀、理解方面都存在諸多不便,如果選用間接證法中的「同一法」,可使證題過程簡化,且便於理解,於是將該證法整理如下,並作一些**.
定理兩內角平分線相等的三角形是等腰三角形.
已知:如圖1,△abc中,bd平分∠abc,ce平分∠acb,且bd=ce.
求證:ab=ac.
分析結合題目的條件,要證ab=ac,必先證∠abc=∠acb,又兩角被平分,且平分後的角不易找到直接的相等關係,仔細觀察發現∠ebd與∠ecd所對的是同一條邊de,若轉化在圓中就是兩圓周角所對的公共弦,便可找出互相之間的聯絡,於是可以考慮b、e、c、d是否在同乙個圓上,恰好用「同一法」可以解決這一點,問題就得到簡化.
證明過點b、d、c作⊙o交ce或其延長線於點h,因為bd平分∠abc,ce平分∠acb,所以 cd[tx(]= hd[tx(], hd[tx(]= bh[tx(],所以 cdh[tx(]= bhd[tx(].
所以ch=bd.因為bd=ce,所以ch=ce,又點h在ce上,所以點h與點e重合.所以∠abc=∠acb.所以ab=ac.所以三角形abc是等腰三角形.
上面過b、c、d三點作乙個輔助圓後,把角平分線與弧之間的關係緊密聯絡,從而使弧與ce的交點h和點e之間的關係成為解題的主線,然後證得點h與點e 重合,問題獲得解決,這就應用了反證法中「同一法」的思想.經過這一證明,在相同條件下,圖中許多關係非常明顯,若用命題形式表達出來,則有以下兩個命題尤為重要.
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