斯坦納-萊默斯定理的一種直接證法
定理簡介
2023年，萊默斯（在他給斯圖姆（的信中提出請求給出乙個純幾何證明。斯圖姆沒有解決，就向許多數學家提出這一問題。據說連歐幾里德都不會證！
直到2023年由瑞士幾何學家斯坦納（首先給出證明,因而這一定理就稱為斯坦納—萊默斯定理。
一百多年來，這個命題的證明吸引了許多數學家和數學愛好者。繼斯坦納之後，這一定理的豐富多彩的證明陸續發表，但大多是間接證法，直接證法難度頗大，筆者提出一種直接證法。
定理內容
如果三角形中兩內角平分線相等，則必為等腰三角形。
即：若、是的內角平分線，且，
則.筆者證法
如右圖所示：
由餘弦定理可以得：
由合比定理整理可以得：
1）由正弦定理及o點到be和dc的距離相等，△boe與△cod和面積比可以得：
2）∵bd=ec
∴可令ob-oe=oc-od=k be=x cd=y （x>0;y>0）
（1）/（2）整理可以得：
(x-y)(yx+k2y)=0
∵x>0;y>0
∴x=y
∴be=cd
∴△bdc≌△ceb
則.命題得證