一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
1. (2013全國新課標ⅰ理) 已知集合a=｛x|x2－2x＞0｝，b=｛x|－＜x＜｝，則 ( )
（a）a∩bb）a∪b=r （c）ba （d）ab
【命題意圖】本題主要考查一元二次不等式解法、集合運算及集合間關係，是容易題.
【解析】a=(-,0)∪(2,+), ∴a∪b=r,故選b.
2. (2013全國新課標ⅰ文) 已知命題,；命題，，則下列命題中為真命題的是：（ ）
（a） （b） （c） （d）
答案 b
解析由指數函式的性質知，命題p是錯誤的．
而命題q是正確的．故選b.
3. (2013全國新課標ⅱ理)設a＝log36，b＝log510，c＝log714，則( )
（a）c>b>a （b）b>c>a （c）a>c>b （d）a>b>c
答案 d
解析設a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，顯然a>b>c.
4. (2013全國新課標ⅱ文) 設滿足約束條件，則的最小值是（ ）
（abcd）
【答案】b
【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即。作出可行域如圖,平移直線，由圖象可知當直線經過點b時，直線的截距最大，此時取得最小值，由得，即,代入直線z=2x-3y得，選b.
5．(2013廣東文) 垂直於直線且與圓相切於第一象限的直線方程是
a． b． c． d．
【解析】本題考查直線與圓的位置關係，直接由選項判斷很快，圓心到直線的距離等於，排除b、c；相切於第一象限排除d，選a.直接法可設所求的直線方程為：，再利用圓心到直線的距離等於，求得.
6．(2013全國大綱文、理) 已知數列滿足3an＋1＋an＝0，a2＝，則的前10項和等於( )．
a．－6(1－3－10) b． (1－310) c．3(1－3－10) d．3(1＋3－10)
答案：c
解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝.∴數列是以為公比的等比數列．∵a2＝，∴a1＝4.∴s10＝＝3(1－3－10)．故選c.
6. 7.某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為
a. b. c. d.
【命題意圖】本題主要考查簡單組合體的三檢視及簡單組合體體積公式，是中檔題.
【解析】由三檢視知，該幾何體為放到的半個圓柱底面半徑為2高為4，上邊放乙個長為4寬為2高為2長方體，故其體積為=，故選.
8. (2013山東理) 將函式y=sin（2x +）的影象沿x軸向左平移個單位後，得到乙個偶函式的影象，則的乙個可能取值為
（a） （b） （c）0 （d）
【答案】b
【解析】將函式y=sin（2x +）的影象沿x軸向左平移個單位，得到函式，因為此時函式為偶函式，所以，即，所以選b.
9. (2013全國新課標ⅰ文、理) 已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為
a. b. c. d.
【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質，是簡單題.
【解析】由題知，，即的漸近線方程為，故選.
解析2：由e＝＝知，a＝2k，c＝k(k∈r＋)，
由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.
所以＝.
即漸近線方程為y＝±x.故選c.
10．(2013福建理) 在四邊形abcd中，，，則四邊形的面積為（ ）
a． b． c．5 d．10
【答案】c
【解析】由題意，容易得到．設對角線交於o點，則四邊形面積等於四個三角形面積之和
即s=．容易算出，則算出s=5．故答案c
11. (2013重慶理) 已知圓c1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓c2：
(x－3)2＋(y－4)2＝9，m，n分別是圓c1，c2上的動點，p為x軸上的動點，則|pm|＋|pn|的最小值為( )
a．5－4b.－1 c．6－2 d.
答案 a
解析兩圓心座標分別為c1(2,3)，c2(3，4)．c1關於x軸對稱的點c1′的座標為(2，－ 3)，連線c2c1′，線段c2c1′與x軸的交點即為p點．
(|pm|＋|pn|)min＝|c2c1′|－r1－r2(r1，r2分別為兩圓的半徑)＝－1－3＝－4＝5－4.故選a.
12. (2013全國新課標ⅰ文、理)已知函式，若，則的取值範圍是（ ）
（a） （b） (c) (d)
答案 d
解析：函式y＝|f(x)|的圖象如圖．
①當a＝0時，|f(x)|≥ax顯然成立．
②當a>0時，只需在x>0時，ln(x＋1)≥ax成立．
比較對數函式與一次函式y＝ax的增長速度．
顯然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恆成立．
③當a<0時，只需在x<0時，x2－2x≥ax成立．
即a≥x－2成立，∴a≥－2.
綜上所述：－2≤a≤0.故選d.
【命題意圖】本題主要考查函式不等式恆成立求引數範圍問題的解法，是難題。
【解析2】∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，則≥-2，排除ａ，ｂ，
當=1時，易證對恆成立，故=1不適合，排除c，故選d.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上。
13. (2013全國新課標ⅱ文、理)已知正方形的邊長為，為的中點，則_______。
【答案】
【解析】在正方形中，, ,所以。
解析2： 由題意知2－·－2＝4－0－2＝2.
14．(2013全國新課標ⅱ理)設θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos
答案 －
解析 ∵tan＝，∴tan θ＝－，
即解得sin θ＝，cos θ＝－.
∴sin θ＋cos θ＝－.
【答案】
【解析】函式，向右平移個單位，得到，即向左平移個單位得到函式，向左平移個單位，得
，即。15. (2013全國新課標ⅱ文) 已知正四稜錐的體積為，底面邊長為，則以為球心，為半徑的球的表面積為________。
【答案】
【解析】設正四稜錐的高為，則，解得高。則底面正方形的對角線長為，所以,所以球的表面積為.
16. (2013全國新課標ⅱ理)等差數列的前n項和為sn，已知s10＝0，s15＝25，則nsn的最小值為________．
答案 －49
解析由題意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.
兩式相減得a15－a10＝＝5d，
∴d＝，a1＝－3.
∴nsn＝n·＝＝f(n)，
f′(n)＝n(3n－20)．
由函式的單調性知f(6)＝－48，f(7)＝－49.
∴nsn的最小值為－49.
三、解答題：本大題共6小題，共70分。應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17． (本小題滿分12分) (2013四川文)在△abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且cos(a－b)cos b＝sin(a－b)sin(a＋c)＝－.
(1)求sin a的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
解 (1)由cos(a－b)cos b－sin(a－b)sin(a＋c)＝－，得cos(a－b)cos b－sin(a－b)sin b＝－.
則cos(a－b＋b)＝－，即cos a＝－.
又0(2)由正弦定理，有
＝，所以，sin b＝＝.
由題知a>b，則a>b，故b＝.
根據餘弦定理，有
(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(負值捨去)．
故向量在方向上的投影為||cos b＝.
18. (本小題滿分12分)已知等差數列滿足：，.的前n項和為.
（ⅰ）求及；（ⅱ）令（）,求數列的前n項和.
【命題意圖】本題考查等差數列的通項公式與前n項和公式的應用、裂項法求數列的和，熟練數列的基礎知識是解答好本類題目的關鍵。
【解析】（ⅰ）設等差數列的公差為d，因為，，所以有
，解得，
所以；==。
（ⅱ）由（ⅰ）知，所以bn===，
所以==，
即數列的前n項和=。
19.（本小題滿分12分）如圖，三稜柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，∠ba a1=60°.
（ⅰ）證明ab⊥a1c;
（ⅱ）若平面abc⊥平面aa1b1b，ab=cb=2，求直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值。
【命題意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質及線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題.
【解析】（ⅰ）取ab中點e，鏈結ce，，，
∵ab=， =，∴是正三角形，
∴⊥ab， ∵ca=cb， ∴ce⊥ab， ∵=e，∴ab⊥面，
∴ab6分
（ⅱ）由（ⅰ）知ec⊥ab，⊥ab，
又∵面abc⊥面，面abc∩面=ab，∴ec⊥面，∴ec⊥，
∴ea，ec，兩兩相互垂直，以e為座標原點，的方向為軸正方向，||為單位長度，建立如圖所示空間直角座標系，
有題設知a(1,0,0), (0, ,0),c(0,0,),b(－1,0,0),則=（1,0，）, = =(－1,0,), =(09分
設=是平面的法向量，
則，即，可取=（，1，-1），
∴=，∴直線a1c 與平面bb1c1c所成角的正弦值為12分
19. （文科）如圖，三稜柱abc－a1b1c1中，ca＝cb，ab＝aa1，∠baa1＝60°.
(1)證明：ab⊥a1c；
(2)若ab＝cb＝2，a1c＝，求三稜柱abc－a1b1c1的體積．
(1)證明如圖，
取ab的中點d，連線cd、a1d.
∵ca＝cb，
∴cd⊥ab，.
又∵aa1＝ab，
∴aa1＝2ad，
又∠a1ad＝60°，
∴∠ada1＝90°，即ab⊥a1d，
∴ab⊥平面a1dc，
∴ab⊥a1c.
(2)解 ∵ab＝cb＝2＝ac，
∴cd＝，
又a1a＝ab＝2，
∴a1d2＝22－12＝3，即a1d＝，
∵a1c2＝a1d2＋cd2＝6，
∴∠cda1＝90°，即a1d⊥cd，
∴a1d⊥平面abc，
∴vabc－a1b1c1＝×22×＝3.
20．（本小題滿分12分） 在平面直角座標系中，點p到兩點，的距離之和等於4，設點p的軌跡為．
（ⅰ）寫出c的方程；
（ⅱ）設直線與c交於a，b兩點．k為何值時？此時的值是多少？
15．本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關係等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．滿分12分．
解：（ⅰ）設p（x，y），由橢圓定義可知，點p的軌跡c是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線c的方程為． 4分
（ⅱ）設，其座標滿足
消去y並整理得，
故． 6分
，即．而，
於是．所以時，，故．----- 8分
當時，，．，而
，所以12分
21．（本小題滿分12分） (2013全國新課標ⅰ文)已知函式f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)討論f(x)的單調性，並求f(x)的極大值．
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