海淀區高三年級第一學期期末練習
數學（理）答案及評分參考 2015.1
一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）
（1）c2）d3）b4）c
（5）b6）a7）c8）b
二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分。有兩空的小題，第一空2分，第二空3分）
（91011
（1213）；414）
三、解答題（共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（ⅰ）的值是
的值是（ⅱ）由題意可得：.
所以 因為，
所以.所以當，即時，取得最大值；
當，即時，取得最小值
（16）（共13分）
解：（ⅰ）抽取的5人中男同學的人數為，女同學的人數為.
（ⅱ）由題意可得
因為，所以所以（17）（共14分）
證明：（ⅰ）連線.
在正方形中，.
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面. ………………1分
因為平面
所以2分
在菱形中，.
因為平面，平面，，
所以平面
因為平面，
所以（ⅱ）∥平面，理由如下
取的中點，連線.
因為是的中點，
所以∥，且.
因為是的中點，
所以 .
在正方形中，∥， .
所以∥，且.
所以四邊形為平行四邊形.
所以因為平面，平面，
所以∥平面
（ⅲ）在平面內過點作.
由（ⅰ）可知：平面. 以點為座標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角座標系，設，則.
在菱形中，，所以
設平面的乙個法向量為.
因為即所以即
由（ⅰ）可知：是平面的乙個法向量
所以所以二面角的余弦值為
（18）（共13分）
解：（ⅰ）由得：.
所以橢圓的短軸長為
因為，所以，即的離心率為
（ⅱ）由題意知：，設，則.
因為所以.
所以點不在以為直徑的圓上，即：不存在直線，使得點在以為直徑的圓上.
另解：由題意可設直線的方程為，.
由可得：.
所以所以
因為所以
所以.所以點不在以為直徑的圓上，即：不存在直線，使得點在以為直徑的圓上.
（19）（共13分）
解：（ⅰ）函式是偶函式，證明如下
對於，則
因為，所以是偶函式
（ⅱ）當時，因為，恆成立，
所以集合中元素的個數為0
當時，令，由，
得.所以集合中元素的個數為1
當時，因為，
所以函式是上的增函式
因為，所以在上只有乙個零點
由是偶函式可知，集合中元素的個數為2.
綜上所述，當時，集合中元素的個數為0；當時，集合中元素的個數為1；當時，集合中元素的個數為2.
（ⅲ）函式有3個極值點
（20）（共14分）
解：（ⅰ）因為，
所以，，，故.
因為，所以.
所以.所以當時，取得最大值.
（ⅱ）由的定義可知：.
所以設刪去的兩個數為，則.
由題意可知：，且當其中乙個不等式中等號成立，不放設時，，.
所以所以.
所以，即.
（ⅲ）對於滿足（）的每乙個集合，集合中都存在三個不同的元素，使得恆成立，理由如下：
任取集合，由（）可知，中存在最大數，不妨記為（若最大數不唯一，任取乙個）.
因為，所以存在，使得，即.
由可設集合.
則中一定存在元素使得. 否則，，與是最大數矛盾.
所以，，即.
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